exerc.proposto

por **adauto martins** » Sex Set 27, 2019 18:14

(escola nacional de quimica da universidade do brasil,rj-exame de admissao 1946)
um ponto luminoso esta a 2 m de uma esfera luminosa de raio igual a 4 m.qual e o valor da area da porçao iluminada da esfera?

por **adauto martins** » Sex Out 04, 2019 19:33

soluçao:
para resolver esse exercicio precisaremos contar com nossa imaginaçao e dos colegas,pois eu nao sei editar pelo menos uma figura nesse late.mas vamos la ...:
consideremos uma reta q. passa pelo ponto de luz e o centro da esfera.o centro chamaremos de O,P o ponto de luz e T,o raio de luz que tangencia a superficie da esfera,delimitqando a area iluminda,que sera uma colota da esfera.vamos calcular a area dessa calota.bom essa area e dada por:
$A=2.\pi.r.x$ ,onde r,raio da esfera(r=4m) e x,a distancia do plano de corte da calota ao ponto exterior da esfera.com os dados que temos,teremos q. determinar x,e faremos isso usando semelhança de triangulos,que sao retangulos...haja imaginaçao...vamos la.o triangulo $\Delta(PTO)$ e reto em T,pois toda reta q. tangencia uma esfera,ou uma circunferencia dessa esfera,faz angulo reto com seu raio.dentro desse triangulo(PTO)construamos outro triangulo,q. e tambem retangulo...tomaremos o plano de corte,um ponto q. esta na reta q. une os pontos PO,e chamaremos de k...o triang.(PkT) e retangulo...tomaremos as devidas proporçoes de lado,pois o triang.PTO e semelhante ao triang.PkT,o que e facil de prova...
primeiro calcularemos o seg. PT, onde $PT=\sqrt[]{{(r+2)}^{2}-{r}^{2}}=\sqrt[]{({4+2})^{2}-{4}^{2}} =\sqrt[]{20}=2.\sqrt[]{5}...$ ...entao:
$kP/PT=PT/PO\Rightarrow x+2/(2.\sqrt[]{5})=2.\sqrt[]{5}/6 x+2={(2.\sqrt[]{5}})^{2}/6=20/6=10/3$

$\Rightarrow x=(10/3)-2 \simeq 1.33 m$
$\Rightarrow A=2.\pi.4.1.33\simeq A=33.51 m2$

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