Tronco de cone

por **Ananda** » Ter Abr 01, 2008 19:38

Boa noite!

Eis o exercício:

Um cone circular reto de altura

e raio da base

é cortado por um plano paralelo à base. Calcular a altura do cone parcial assim determinado, de modo que a sua superfície lateral seja equivalente à superfície lateral do tronco de cone assim obtido.

Resposta: $\frac{h\,\sqrt[]{2}}{2}$

Bom, entendi que as áreas laterais são iguais, logo:

$\Pi.g tronco(r+{r}_{1})=\Pi.{r}_{1}.g cone$

E com a razão de semelhança, cheguei que:

$h cone =\frac{{r}_{1}.h}{r}$

Pensei em usar pitágoras, mas as aplicações ficariam imensas.

Pela resposta, vi que a razão entre o raio do cone obtido e do cone original será $\frac{\sqrt[]{2}}{2}$

Espero uma "luz" rs

Grata desde já pela atenção!

por **admin** » Ter Abr 01, 2008 23:52

Olá Ananda!

Vi uma "luz" aqui, vou comentar...

Antes, para simplificar as referências pelo tamanho, apenas mudei as letras do enunciado para maiúsculas:

Um cone circular reto de altura e raio da base é cortado por um plano paralelo à base. Calcular a altura do cone parcial assim determinado, de modo que a sua superfície lateral seja equivalente à superfície lateral do tronco de cone assim obtido.
Resposta: $\frac{H\,\sqrt{2}}{2}$

Considere uma seção meridiana do cone grande.
Nela, destaquei os triângulos abaixo:

: triangulos_semelhantes.jpg (20.91 KiB) Exibido 17413 vezes

Note que eles são semelhantes pelo caso AA ângulo-ângulo (ângulo reto correspondente e ângulo comum no topo).
Daqui, temos que:

$\frac{r}{R} = \frac{g}{G} = \frac{h}{H}$

Vamos conversando...

por **Ananda** » Qua Abr 02, 2008 09:27

Bom dia!
Tinha enxergado isso depois rs
Vamos ver o que consigo hoje =D

Até mais!

por **Ananda** » Qua Abr 02, 2008 10:11

Consegui! =D

Como a área lateral do cone obtido e a do tronco são iguais, a área lateral do cone obtido deve ser a metade da área do cone original.

Com isso:

$\Pi.R.G=2.\Pi.r.g$

Usando $\frac{r}{R}=\frac{g}{G}=\frac{h}{H}$ ,

isolando G e R, depois substituindo na expressão inicial:

$\frac{H.r}{h}.\frac{g.H}{h}=2.r.g$

$\frac{H^2}{h^2}=2$

$h=\frac{H\,\sqrt[]{2}}{2}$

Grata, Fábio!

Um ótimo dia para ti!

por **admin** » Qua Abr 02, 2008 12:56

Olá Ananda, bom dia!
Ótimo!

Apenas para expandir o conteúdo, vou comentar uma alternativa para esta sua prática e correta conclusão:

Como a área lateral do cone obtido e a do tronco são iguais, a área lateral do cone obtido deve ser a metade da área do cone original.

Com isso:
$\pi.R.G=2.\pi.r.g$

Primeiro, vamos mostrar como obter a área lateral do cone pequeno A_c

.

Considere o cone aberto e planificado, conforme a figura:

: cone_area_lateral.jpg (31.45 KiB) Exibido 17351 vezes

Calcular a área lateral do cone pequeno é equivalente a calcular a área do setor circular A_c

.
E $2\pi r$ é a medida do arco determinado pelo círculo da base de raio

.
E $2\pi R$ é a medida do arco determinado pelo círculo da base de raio

.

Fazendo uma regra de três relacionando área com arco:
$\left\{ \begin{matrix} \pi g^2 & \;\;\; & 2\pi g \\ A_c & \;\;\; & 2\pi r \end{matrix} \right.$

$A_c = \frac{\pi g^2 \cdot 2\pi r}{2\pi g} = \pi rg$

A área do tronco A_t

obtemos por diferença:

Sendo A_C

a área do cone grande, a área que procuramos é

A_t = A_C - A_c

Para

fazemos um processo análogo ao anterior e obtemos

$A_C = \pi RG$

Então

$A_t = \pi RG - \pi rg$

Conforme o enunciado, queremos que A_c = A_t

, logo

$\pi rg = \pi RG - \pi rg$

$2\pi rg = \pi RG$ (chegamos àquela conclusão)

2rg = RG

$2\frac{rg}{RG} = 1$ (achei mais imediato utilizar aqui a conseqüência dos triângulos semelhantes)

$2\frac{hh}{HH} = 1$

$2\frac{h^2}{H^2} = 1$

2h^2 = H^2

$h = \frac{H}{\sqrt{2}}$

$h = \frac{H\sqrt{2}}{2}$

Entendendo este processo, não precisamos "alocar memória" para a "fórmula" da área lateral de um cone, pois podemos obtê-la rapidamente.

Até mais!