Superfície e Plano Tangente- URGENTE

por **leroaquino** » Qui Set 17, 2015 19:46

Boa tarde, estou com uma questão aqui e não consigo resolve -la de jeito nenhum. Sei que a primeira é por absurdo que demonstra. Vocês poderia me ajudar ?
Questão: Prove que se uma superfície M encontra o plano( pi) em um único ponto, então este plano coincide com o plano tangente.
Questão 2: Prove que se M1 e M2 se interceptam transversalmente então M1(União)M2 é uma curva regular

por **adauto martins** » Seg Set 21, 2015 15:04

1)
seja $f:{\Re}^{2}\rightarrow \Re$ ,tal q. f(x,y)=c

,c uma curva de nivel da superficie definida por f
tem-se q. $(\nabla f(x,y)).r=0$ ,p/ quaiquer r,onde $r=\sqrt[]{{x}^{2}+{y}^{2}}$ ..por hipotese temos q. r é unico,ou seja $\exists ({x}_{0},{y}_{0})$ ,tal q. $\nabla f({x}_{0},{y}_{0}).{r}_{0}=0$ $\Rightarrow q.\nabla f({x}_{0},{y}_{0})$ é unico e tangente a superficie,logo $\Rightarrow \nabla f({x}_{0},{y}_{0})$ pertence ao plano tangente a superficie definida por f...
2)
sejam ${r'}_{1},{r'}_{2}$ vetores tangentes a superficie ${M}_{1},{M}_{2}$ ,respectivamente...
vamos tomar qquer $(x,y)\in {M}_{1}\bigcap_{}^{}{M}_{2}$ ,teremos entao q. $r'={r'}_{1}+{r'}_{2}\neq 0$ ,onde r' e tangente a ${M}_{1}\bigcap_{}^{}{M}_{2}$