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[Geometria Espacial Polinômios] UESB 2011.2

[Geometria Espacial Polinômios] UESB 2011.2

Mensagempor Leocondeuba » Ter Nov 05, 2013 22:08

Olá a todos. Estou com dificuldade nesta questão pois só encontro raízes que somando não resultam nos resultados das alternativas. Desde já agradeço a todos que tentarem me ajudar.

Imagem

Na figura ao lado, as medidas a, b, c são, respectivamente, iguais ao polinômios 3x² + 5, 2x³ - 2x, e x² + 1.
Se P(x) é o polinômio que representa a área total do sólido representado na figura, então a soma dos inversos das raízes de P(x) é igual a:

01)12/5 02) 8/5 03)4/5 04)-8/5 05)-6/5
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Re: [Geometria Espacial Polinômios] UESB 2011.2

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jan 31, 2016 21:33

Olá!!

A área da figura em questão é dada por 2(ab + ac + bc). Então, P(x) = 2[(3x² + 5)(2x³ - 2x) + (2x³ - 2x)(x² + 1) + (3x² + 5)(x² + 1)].

Desenvolvendo chegamos a P(x) = 16x^5 + 6x^4 + 8x³ + 16x² - 24x + 10.

O problema pede a soma dos inversos das raízes de P(x). Ora, se considerarmos as raízes como sendo x_1, x_2, x_3, x_4 e x_5, teremos:

1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3 + 1/x_4 + 1/x_5 =

(x_2 . x_3 . x_4 . x_5 + x_1 . x_3 . x_4 . x_5 + x_1 . x_2 . x_4 . x_5 + x_1 . x_2 . x_3 . x_4)/(x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_5) =

Das Relações de Girard, tiramos que: se P(x) = Ax^5 + Bx^4 + Cx³ + Dx² + Ex + F, então:

- a soma dos produtos das raízes tomados quatro a quatro é dada por (+ E)/A;

- o produto das raízes é dado por (- F)/A.

Isto posto, temos que:

E/A : (- F)/A =

E/A . A/(- F) =

E/(- F) =

(- 24)/(- 10) =

24/10 =

12/5

Espero ter ajudado!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
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(David S. Jordan)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}