exrc.resolvido

por **adauto martins** » Sáb Nov 23, 2019 10:15

(ITA-exame 1953 )

calcular o volume do solido gerado por um triangulo retangulo isosceles,cujos catetos medem 3m,ao girar em torno da paralela
a hipotenusa traçada pelo vertice do angulo reto.

por **adauto martins** » Sáb Nov 23, 2019 11:54

soluçao´
vamos tomar para melhor visualizaçao os eixos´coordenadós,e o vertice do triangulo em questao com o angulo reto na origem,entao teremos o ´triangulo ÁBC,onde A e a origem do sistema x-y...
temos pelio teorama de pelo teoremma de papus

${v}_{rev.}=\theta.x.{Á}_{fig.}$

onde $\theta$ ´ angulo de rotaçao ´

x a distancia ´do centro de gravidade(no caso o baricentro do triangulo,ou da fígura plana)

${Á}_{(fig.)}$ ´ que em nosso casso,sera

${Á}_{fig.}=(3.3)/2=9/2$

o problema se resume em achar x...

o x em nosso caso´,sera o baricentro do triangulo(figura),como sabemos o baricentro´(encontro das medianas) fica
1/3

da base e

do vertice.em nosso caso o triangulo girara em tórno da paralela a hipotenusa,passando pela origem A do sistema,entao
x=(2/3)AM

onde AM´é a mediana que parte da origem A,e divide a hipotenusa áo meio...
como o nosso triang.retanguloé ísosceles,termos

$´h=\sqrt[]{({3}^{2}+{3}^{2})}=3\sqrt[]{2}$ ´

$AM=BD=DC=(1/2)h=(1/2)3.\sqrt[]{2}$ ´

pois sendo ABC isosceles,os catetos dos 2 triang. menores teráo mesmo valor,logo

$x=(2/3)AM=(2/3).(1/2)3.\sqrt[]{2}=\sqrt[]{2}$ ´

portanto

${v}_{rev.}=\theta.x.A=2.\pi.\sqrt[]{2}.(9/2)=9\pi\sqrt[]{2}$

exrc.resolvido

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