[Cilindro e Esfera] Questão de vestibular UECE relação

por **gustavoluiss** » Seg Jan 09, 2012 21:46

Na figura, vista em corte, a esfera de raio r está
colocada no interior do cilindro circular reto de
altura h e cujo raio da base é também igual a r.
Imagem

O volume interior ao cilindro e exterior à esfera é
igual ao volume da esfera quando:
A) h = 2r
B) h = 7/3 r
C) h = 3r
D) h = 8/3 r

não entendi volume interior ao cilindro e exterior à esfera,

alguém poderia resolver esta questão ?

por **ant_dii** » Ter Jan 10, 2012 02:08

Boa noite.

Pra começar

gustavoluiss escreveu:não entendi volume interior ao cilindro e exterior à esfera,

volume interior ao cilindro e exterior à esfera, significa que você tomará somente o volume (o espaço) que sobrou dentro do cilindro sem a esfera, olha tudo mas não conta a esfera.

Para resolver seu problema, primeiro um comentário, seria interessante você colocar o que tentou pra eu poder ver como te ajudar no entendimento. Mas vamos lá:
Primeira coisa vamos dar nomes aos bois, como dizem por aí, façamos V_E

o volume da esfera, V_C

o volume do cilindro e $V_{(C-E)}$ o volume interior ao cilindro e exterior à esfera. Sabemos que:

$V_E=\frac{4}{3} \pi r^3$

$V_C=\pi r^2 h$

Então, teremos que $V_{(C-E)}=V_C-V_E=\pi r^2 h - \frac{4}{3} \pi r^3$ .

Agora vamos ver o que o problema pede:

gustavoluiss escreveu:Na figura, vista em corte, a esfera de raio r está
colocada no interior do cilindro circular reto de
altura h e cujo raio da base é também igual a r.

O volume interior ao cilindro e exterior à esfera é
igual ao volume da esfera quando:
A) h = 2r
B) h = 7/3 r
C) h = 3r
D) h = 8/3 r

Então, estamos interessados em saber quando o volume interior ao cilindro e exterior a esfera é igual ao volume da esfera, isto é, $V_{(C-E)}=V_E$ .
Logo,
$V_{(C-E)}=V_E \Rightarrow \pi r^2 h - \frac{4}{3} \pi r^3= \frac{4}{3} \pi r^3$
De onde temos que
$\pi r^2 h= \frac{8}{3} \pi r^3 \Rightarrow h= \frac{8}{3}r$

Portanto, a resposta correta é a letra D.

Qualquer dúvida estamos aqui...