Esfera

por **renataf** » Seg Nov 29, 2010 17:38

Uma indústria de cosméticos deseja embalar sabonetes esféricos de raio 3cm. A embalagem deverá ter formato cilíndrico, de forma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra a figura (vista superior da embalagem aberta). A medida do raio e a altura da embalagem, em cm, deverão ser de aproximadamente: ( $\sqrt[]{3}$ =1,73)

A)6,73 e 3
B)6,73 e 6
C)6,46 e 3
D)3,46 e 6
E)6,46 e 6

http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/08-esfera.pdf Exercício 6.

A resposta é a D, mas eu fiz e não consigo chegar em 6,46.

Minha resolução.

Volume das esferas: $\frac{4}{3} x \pi x {R}^{3}$
$\frac{4}{3} x \pi x {3}^{3}$

Resolvendo vai ficar: $36\pi$ (esse é o volume de 1 sabonete como são 3) fica: $108\pi$

Aí o volume do cilindro: $Ab x \pi$

$\pi x{R}^{2}xH$ (a altura vai ser = ao diâmetro da esfera portanto vai ser 6)

$\pi x{R}^{2}x6$ ( o raio, pelas minhas contas vai ser assim: se eu fizer um triangulo equilátero q passe pelo cento da figura, a altura desse triangulo derá o raio do cilindro)

$\pi x \left({\frac{L\sqrt[]{3}}{2}} \right)^{2} x 6$ = Volume cilindro

$\frac{\pi{L}^{2}3x6}{4}$ = $108\pi$

Resolvendo: ${L}^{2}=24$
L=4,90

Aí, como o raio é igual a altura do triangulo equilátero eu subtitui na formula. Ficando:
$r= \frac{L\sqrt[]{3}}{2}$

$r=\frac{4,90 x 1,73}{2}$

r=4,24

Não sei onde estou errando.

por **Elcioschin** » Seg Nov 29, 2010 18:01

Use o desenho mostrado

Seja r = 3 o raio de cada esfera e R o raio da caixa cilíndrica
Uma os centros das 3 esferas: o resultado é um triângulo equilátero de lado L = 2r
A altura deste triângulo vale: h = L*cos30º ----> h = (2r)*V3/2 ----> h = r*V3
Una agora o centro O do cilindro ao centro C de uma das esferas e prolongue até alcançar a parede do cilindro no ponto P

OC = (2/3)*h ----> OC = (2/3)*r*V3 ----> OC = (2*V3/3)*r
CP = r

R = OP ----> R = OC + CP ----> R = (2*V3/3)*r + r ----> R = (2*V3/3 + 1)*r ----> R = (2*V3/3 + 1)*3 ----> R ~= 6,46 cm

A altura do cilindro é igual ao diâmetro das esferas ----> h = 2r ----> h = 6 cm

Obs.: Suas alternativas estão diferentes do desenho

por **renataf** » Seg Nov 29, 2010 18:55

Um pouco confuso, mas consegui entender. Obrigada!

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