Vetores

por **Danilo** » Dom Set 30, 2012 22:26

Sejam A, B e C pontos quaisquer com $A \neq B$ . Prove que:

(a) Um ponto X pertence a reta determinada por A e B, se, e somente se,

CX (CX é um vetor, mas eu não achei a ''setinha'' no latex.) = $\alpha$ CA (CA também é um vetor.) + $\beta$ CB, (CB é um vetor.) com \ $\alpha$ + $\beta$ = 1.

(b) Um ponto X pertence ao segmento AB se, e somente se,

CX (CX é vetor) = $\alpha$ CA (CA vetor) + $\beta$ CB (CB é um vetor), com $\alpha$ $\geq$ 0, $\beta$ $\geq$ e $\alpha$ + $\beta$ = 1

(c) Um ponto X é um ponto interior ao triângulo ABC se, e somente se,

CX (CX é vetor) = CA (CA é vetor) + $\beta$ CB (CB é vetor), com $\alpha$ maior (eu não encontrei o símbolo ''maior'') 0 , $\beta$ maior que 0, e $\alpha$ + beta menor que 1.

Bom, eu sei que, para que dois vetores sejam paralelos ele tem de ser da forma AB = $\beta$ BC, $\beta$ real. Mas não consigo usar essa informação para provar... Minha maior dificuldade é sempre em provar e demonstrar... Agradeço imensamente a quem puder dar uma luz. Grato !

por **young_jedi** » Dom Set 30, 2012 23:34

o ponto X pode ser descrito como

$X=k.\overrightarrow{AB}+A$

onde k é um valor real qualquer
então

$\overrightarrow{CX}=C-(k.\overrightarrow{AB}+A)$

$\overrightarrow{CX}=C-A-k.\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CX}=\overrightarrow{CA}-k.\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CX}=\overrightarrow{CA}-k.(C-B+C-A)$

$\overrightarrow{CX}=\overrightarrow{CA}-k.(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})$

$\overrightarrow{CX}=(1+k)\overrightarrow{CA}-k.\overrightarrow{CB}$

temos então que
$\alpha=1+k$

$\beta=-k$

$\alpha+\beta=1+k-k=1$

b) analisando a equação de X

$X=k.\overrightarrow{AB}+A$

se k=-1

X=-A+B+A

e se k=0

X=A

então para que X pertença a reta AB temos que

k<0

e

como

$\beta=-k$

então

$\beta<1$

e como

$1+k=\alpha$

então

$\alpha<1$

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