[Geometria Analítica] Dependência e independência linear

por **Aliocha Karamazov** » Qua Out 12, 2011 12:43

Pessoal, estou fazendo uns exercícios de dependência e independância linear. Pelo que eu percebi até agora (e tem dado certo), a ideia é escrever os lados que preciso calcular em função de dois lados, multiplicando por um certo coeficiente. Depois, encontro alguma relação entre vetores e chego em algo do tipo:

a( $\lambda$ vezes alguma coisa + algum termo independente) +b( $\lambda_{2}$ vezes alguma coisa + algum termo independente)=0

Onde a e b são os dois lados em função dos quais eu escrevi os outros vetores. Escolhendo a e b linearmente independentes, a única solução possível é quando os coeficientes de a e b são igual a 0. Depois disso, resolvo o sistema e calculo tudo o que eu precisar. No link da apostila abaixo, há algum exemplos.

O problema é que eu não consegui achar uma relação dessa para o exercício abaixo:

Dado um triângulo $\triangle$ ABC e I um ponto interior ao triângulo. Passando por
I, traçamos os segmentos PQ, RS, TU paralelos respectivamente a AB, BC e CA respectivamente.
(Com os pontos P, S em AC, T,Q em BC e U, R em AB. Demonstre que:

$\frac{||PQ||}{||AB||}+\frac{||RS||}{||BC||}+\frac{||TU||}{||CA||}=2$

Se quiser ver a figura, veja na página 32 dessa apostila http://gradmat.ufabc.edu.br/cursos/ga/n ... -Notas.pdf

Alguém pode me ajudar?

por **LuizAquino** » Sáb Out 22, 2011 00:09

Aliocha Karamazov escreveu:Dado um triângulo $\triangle$ ABC e I um ponto interior ao triângulo. Passando por
I, traçamos os segmentos PQ, RS, TU paralelos respectivamente a AB, BC e CA respectivamente.
(Com os pontos P, S em AC, T,Q em BC e U, R em AB. Demonstre que:

$\frac{||PQ||}{||AB||}+\frac{||RS||}{||BC||}+\frac{||TU||}{||CA||}=2$

A figura abaixo ilustra o exercício.

: exercício.png (4.33 KiB) Exibido 1993 vezes

Primeiro note que há um erro de digitação no final do enunciado. O texto correto seria algo como: "(...) Q, U em BC e R, T em AB (...)".

Vejamos a agora a resolução do exercício.

Como $\vec{AB}$ e $\vec{PQ}$ são paralelos, temos que $\vec{PQ} = k \vec{AB}$ . Já que esses vetores possuem o mesmo sentido, então sabemos que k > 0. Temos então que:

$\vec{PQ} = k \vec{AB} \Rightarrow \left\|\vec{PQ}\right\| = \left\|k \vec{AB}\right\| \Rightarrow \left\|\vec{PQ}\right\| = |k|\left\| \vec{AB}\right\| \Rightarrow \frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = k$

De modo análogo, existem os números m > 0 e l > 0 tais que:

$\frac{\left\|\vec{RS}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = m$

$\frac{\left\|\vec{UT}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = l$

Note que na última relação nós usamos $\vec{UT}$ pois ele tem o mesmo sentido que $\vec{CA}$ e portanto l > 0. Entretanto, como $\left\|\vec{UT}\right\| = \left\|\vec{TU}\right\|$ isso não interfere no que desejamos provar.

Dos conhecimentos de Geometria Plana, já que $\vec{AB}$ e $\vec{PQ}$ são paralelos, sabemos que os triângulos ABC e PQC são semelhantes. Sendo assim, podemos afirmar que:

$\frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{QC}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{CP}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = k$

De modo análogo, podemos justificar que ABC e ARS são semelhantes, assim como ABC e TBU também são. Sendo assim, podemos afirmar que:

$\frac{\left\|\vec{AR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{RS}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{SA}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = m$

$\frac{\left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{BU}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{UT}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = l$

Podemos então escrever que:

$\frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} + \frac{\left\|\vec{AR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} + \frac{\left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = k + m + l$

$\frac{\left\|\vec{AR}\right\| + \left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l$

Mas note que $\left\|\vec{AR}\right\| + \left\|\vec{TB}\right\| = \left\|\vec{AB}\right\| + \left\|\vec{TR}\right\|$ . Dessa forma, temos que:

$\frac{\left\|\vec{AB}\right\| + \left\|\vec{TR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l$

$1 + \frac{\left\|\vec{TR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l$

Já que ATIP e RBQI são paralelogramos, note que podemos dizer que $\left\|\vec{TR}\right\| = \left\|\vec{AB}\right\| - \left\|\vec{PQ}\right\|$ .

Logo, podemos concluir que:

$1 + \frac{\left\|\vec{AB}\right\| - \left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l$

2 = k + m + l