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[Geometria Analítica] Dependência e independência linear

[Geometria Analítica] Dependência e independência linear

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qua Out 12, 2011 12:43

Pessoal, estou fazendo uns exercícios de dependência e independância linear. Pelo que eu percebi até agora (e tem dado certo), a ideia é escrever os lados que preciso calcular em função de dois lados, multiplicando por um certo coeficiente. Depois, encontro alguma relação entre vetores e chego em algo do tipo:

a(\lambda vezes alguma coisa + algum termo independente) +b(\lambda_{2} vezes alguma coisa + algum termo independente)=0

Onde a e b são os dois lados em função dos quais eu escrevi os outros vetores. Escolhendo a e b linearmente independentes, a única solução possível é quando os coeficientes de a e b são igual a 0. Depois disso, resolvo o sistema e calculo tudo o que eu precisar. No link da apostila abaixo, há algum exemplos.

O problema é que eu não consegui achar uma relação dessa para o exercício abaixo:

Dado um triângulo \triangleABC e I um ponto interior ao triângulo. Passando por
I, traçamos os segmentos PQ, RS, TU paralelos respectivamente a AB, BC e CA respectivamente.
(Com os pontos P, S em AC, T,Q em BC e U, R em AB. Demonstre que:

\frac{||PQ||}{||AB||}+\frac{||RS||}{||BC||}+\frac{||TU||}{||CA||}=2

Se quiser ver a figura, veja na página 32 dessa apostila http://gradmat.ufabc.edu.br/cursos/ga/n ... -Notas.pdf

Alguém pode me ajudar?
Aliocha Karamazov
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Re: [Geometria Analítica] Dependência e independência linear

Mensagempor LuizAquino » Sáb Out 22, 2011 00:09

Aliocha Karamazov escreveu:Dado um triângulo \triangle ABC e I um ponto interior ao triângulo. Passando por
I, traçamos os segmentos PQ, RS, TU paralelos respectivamente a AB, BC e CA respectivamente.
(Com os pontos P, S em AC, T,Q em BC e U, R em AB. Demonstre que:

\frac{||PQ||}{||AB||}+\frac{||RS||}{||BC||}+\frac{||TU||}{||CA||}=2


A figura abaixo ilustra o exercício.

exercício.png
exercício.png (4.33 KiB) Exibido 968 vezes


Primeiro note que há um erro de digitação no final do enunciado. O texto correto seria algo como: "(...) Q, U em BC e R, T em AB (...)".

Vejamos a agora a resolução do exercício.

Como \vec{AB} e \vec{PQ} são paralelos, temos que \vec{PQ} = k \vec{AB} . Já que esses vetores possuem o mesmo sentido, então sabemos que k > 0. Temos então que:

\vec{PQ} = k \vec{AB} \Rightarrow \left\|\vec{PQ}\right\| = \left\|k \vec{AB}\right\| \Rightarrow \left\|\vec{PQ}\right\| = |k|\left\| \vec{AB}\right\| \Rightarrow \frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = k

De modo análogo, existem os números m > 0 e l > 0 tais que:

\frac{\left\|\vec{RS}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = m

\frac{\left\|\vec{UT}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = l

Note que na última relação nós usamos \vec{UT} pois ele tem o mesmo sentido que \vec{CA} e portanto l > 0. Entretanto, como \left\|\vec{UT}\right\| = \left\|\vec{TU}\right\| isso não interfere no que desejamos provar.

Dos conhecimentos de Geometria Plana, já que \vec{AB} e \vec{PQ} são paralelos, sabemos que os triângulos ABC e PQC são semelhantes. Sendo assim, podemos afirmar que:

\frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{QC}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{CP}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = k

De modo análogo, podemos justificar que ABC e ARS são semelhantes, assim como ABC e TBU também são. Sendo assim, podemos afirmar que:

\frac{\left\|\vec{AR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{RS}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{SA}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = m

\frac{\left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{BU}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{UT}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = l

Podemos então escrever que:

\frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} + \frac{\left\|\vec{AR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} + \frac{\left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = k + m + l

\frac{\left\|\vec{AR}\right\| + \left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

Mas note que \left\|\vec{AR}\right\| + \left\|\vec{TB}\right\| = \left\|\vec{AB}\right\| + \left\|\vec{TR}\right\| . Dessa forma, temos que:

\frac{\left\|\vec{AB}\right\| + \left\|\vec{TR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

1 + \frac{\left\|\vec{TR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

Já que ATIP e RBQI são paralelogramos, note que podemos dizer que \left\|\vec{TR}\right\| = \left\|\vec{AB}\right\| - \left\|\vec{PQ}\right\| .

Logo, podemos concluir que:

1 + \frac{\left\|\vec{AB}\right\| - \left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

2 = k + m + l
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Re: [Geometria Analítica] Dependência e independência linear

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qua Out 26, 2011 21:57

Muito obrigado! Ajudou bastante, cara.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.