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[Geometria Analítica] Dependência e independência linear

[Geometria Analítica] Dependência e independência linear

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qua Out 12, 2011 12:43

Pessoal, estou fazendo uns exercícios de dependência e independância linear. Pelo que eu percebi até agora (e tem dado certo), a ideia é escrever os lados que preciso calcular em função de dois lados, multiplicando por um certo coeficiente. Depois, encontro alguma relação entre vetores e chego em algo do tipo:

a(\lambda vezes alguma coisa + algum termo independente) +b(\lambda_{2} vezes alguma coisa + algum termo independente)=0

Onde a e b são os dois lados em função dos quais eu escrevi os outros vetores. Escolhendo a e b linearmente independentes, a única solução possível é quando os coeficientes de a e b são igual a 0. Depois disso, resolvo o sistema e calculo tudo o que eu precisar. No link da apostila abaixo, há algum exemplos.

O problema é que eu não consegui achar uma relação dessa para o exercício abaixo:

Dado um triângulo \triangleABC e I um ponto interior ao triângulo. Passando por
I, traçamos os segmentos PQ, RS, TU paralelos respectivamente a AB, BC e CA respectivamente.
(Com os pontos P, S em AC, T,Q em BC e U, R em AB. Demonstre que:

\frac{||PQ||}{||AB||}+\frac{||RS||}{||BC||}+\frac{||TU||}{||CA||}=2

Se quiser ver a figura, veja na página 32 dessa apostila http://gradmat.ufabc.edu.br/cursos/ga/n ... -Notas.pdf

Alguém pode me ajudar?
Aliocha Karamazov
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Re: [Geometria Analítica] Dependência e independência linear

Mensagempor LuizAquino » Sáb Out 22, 2011 00:09

Aliocha Karamazov escreveu:Dado um triângulo \triangle ABC e I um ponto interior ao triângulo. Passando por
I, traçamos os segmentos PQ, RS, TU paralelos respectivamente a AB, BC e CA respectivamente.
(Com os pontos P, S em AC, T,Q em BC e U, R em AB. Demonstre que:

\frac{||PQ||}{||AB||}+\frac{||RS||}{||BC||}+\frac{||TU||}{||CA||}=2


A figura abaixo ilustra o exercício.

exercício.png
exercício.png (4.33 KiB) Exibido 967 vezes


Primeiro note que há um erro de digitação no final do enunciado. O texto correto seria algo como: "(...) Q, U em BC e R, T em AB (...)".

Vejamos a agora a resolução do exercício.

Como \vec{AB} e \vec{PQ} são paralelos, temos que \vec{PQ} = k \vec{AB} . Já que esses vetores possuem o mesmo sentido, então sabemos que k > 0. Temos então que:

\vec{PQ} = k \vec{AB} \Rightarrow \left\|\vec{PQ}\right\| = \left\|k \vec{AB}\right\| \Rightarrow \left\|\vec{PQ}\right\| = |k|\left\| \vec{AB}\right\| \Rightarrow \frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = k

De modo análogo, existem os números m > 0 e l > 0 tais que:

\frac{\left\|\vec{RS}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = m

\frac{\left\|\vec{UT}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = l

Note que na última relação nós usamos \vec{UT} pois ele tem o mesmo sentido que \vec{CA} e portanto l > 0. Entretanto, como \left\|\vec{UT}\right\| = \left\|\vec{TU}\right\| isso não interfere no que desejamos provar.

Dos conhecimentos de Geometria Plana, já que \vec{AB} e \vec{PQ} são paralelos, sabemos que os triângulos ABC e PQC são semelhantes. Sendo assim, podemos afirmar que:

\frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{QC}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{CP}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = k

De modo análogo, podemos justificar que ABC e ARS são semelhantes, assim como ABC e TBU também são. Sendo assim, podemos afirmar que:

\frac{\left\|\vec{AR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{RS}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{SA}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = m

\frac{\left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = \frac{\left\|\vec{BU}\right\|}{\left\|\vec{BC}\right\|} = \frac{\left\|\vec{UT}\right\|}{\left\|\vec{CA}\right\|} = l

Podemos então escrever que:

\frac{\left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} + \frac{\left\|\vec{AR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} + \frac{\left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = k + m + l

\frac{\left\|\vec{AR}\right\| + \left\|\vec{TB}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

Mas note que \left\|\vec{AR}\right\| + \left\|\vec{TB}\right\| = \left\|\vec{AB}\right\| + \left\|\vec{TR}\right\| . Dessa forma, temos que:

\frac{\left\|\vec{AB}\right\| + \left\|\vec{TR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

1 + \frac{\left\|\vec{TR}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

Já que ATIP e RBQI são paralelogramos, note que podemos dizer que \left\|\vec{TR}\right\| = \left\|\vec{AB}\right\| - \left\|\vec{PQ}\right\| .

Logo, podemos concluir que:

1 + \frac{\left\|\vec{AB}\right\| - \left\|\vec{PQ}\right\|}{\left\|\vec{AB}\right\|} = m + l

2 = k + m + l
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Re: [Geometria Analítica] Dependência e independência linear

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qua Out 26, 2011 21:57

Muito obrigado! Ajudou bastante, cara.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D