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Volume do Tetraedro (SO)

Volume do Tetraedro (SO)

Mensagempor -civil- » Seg Ago 08, 2011 14:23

Boulos - Cap. 18 - Exercício 18-4

Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r, s, t e pelo plano \pi, nos casos:

(a) \pi: x + y + z - 5 = 0
r: x = z = 0
s:x = y = 0
t: x - 2y = z = 0


Primeiramente passei as equações da reta para a forma vetorial. Ficou:

r: X = (0,0,0) + \theta(0,1,0)

s: X = (0,0,0) + \lambda(0,0,1)

t: X = (0,0,0) + \upsilon(2,1,0)

Daí eu igualei cada uma com a equação do plano \pi

r: X = (0,0,0) + \mu(0,1,0)
\pi: 0 + \mu + 0 - 5 = 0
\mu = 5
A= (0,5,0)

s: X = (0,0,0) + \lambda(0,0,1)
\pi: 0 + 0 +\lambda - 5 = 0
\lambda = 5
B = (0,0,5)

t: X = (0,0,0) + \gamma(2,1,0)
\pi: 2\gamma + \gamma + 0 - 5 = 0
3\gamma = 5
\gamma = 5/3
C = (0,5/3,0)

Eu entendi que o ponto de intersecção de r, s e t é O = (0,0,0)

Então o volume do tetraedro seria:

\frac{1}{6} [\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]

Só que o resultado é zero! O que eu estou fazendo de errado?
-civil-
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Re: Volume do Tetraedro (SO)

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 08, 2011 15:44

-civil- escreveu:t: X = (0,0,0) + \gamma(2,1,0)
\pi: 2\gamma + \gamma + 0 - 5 = 0
3\gamma = 5
\gamma = 5/3
C = (0,5/3,0)


Reveja o cálculo desse ponto C. A coordenada x não será zero.
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Re: Volume do Tetraedro (SO)

Mensagempor -civil- » Ter Ago 09, 2011 12:30

Realmente, o ponto C é (10/3,5/3,0). O produto misto é 250/3 e o volume é 125/9.

Obrigado pela ajuda!
-civil-
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}