Subespaço vetorial

por **drakonifor** » Qui Mar 17, 2011 16:48

Boa tarde...

Tenho duvidas neste assunto que, por mais basicas que acredito serem, estão-me a fazer arrancar os olhos.

Bem, podem-me dizer se os seguintes conjuntos são subespaços vectoriais em R2??

S={(x,y)€R2: x+y diferente de 1}

S={(x,y)€R2: x+y = 0}

Espero que me possam ajudar tentar de uma vez por todas interiorizar este conteudo

por **LuizAquino** » Qui Mar 17, 2011 18:23

Dizemos que S é um subespaço do espaço vetorial V (sobre um corpo F) se S estiver contido em V e forem válidas as seguintes propriedades:
(i) (Existência do elemento neutro) $0 \in S$ .
(ii) (Fechado em relação a soma) Se u e v estão em S, então u + v também está em S.
(iii) (Fechado em relação a multiplicação de escalar) Se u está em S e k está em F, então ku também está em S.

Exemplo: Seja o espaço vetorial $V=\mathbb{R}^2$ sobre o corpo $\mathbb{R}$ . Seja o subconjunto $S=\{(x,\,y) \in V \,|\, x+y\neq 1\}$ de V.
(i) Tomando o ponto (0, 0) (que é o elemento neutro de V), temos que $0+0\neq 1$ . Sendo assim, $(0,\,0)\in S$

(ii) Sejam $u=(x_1,\, y_1)$ e $v=(x_2,\, y_2)$ pertencentes a S. Fazendo a soma entre u e v, temos $u+v=(x_1+x_2,\,y_1+y_2)$ . Agora, será que $(x_1+x_2) + (y_1+y_2) \neq 1$ ? Não necessariamente! Por exemplo, temos que $u=(1,\, 2)$ e $v=(-1,\, -1)$ pertencem a S, já que $1+2\neq 1$ e $(-1)+(-1) \neq 1$ . Porém, u+v=(0, 1)

e portanto 0+1=1

. Isso significa que $u+v = (0,\,1) \not\in S$ .

Como a propriedade (ii) não é válida eu nem preciso testar a propriedade (iii). Já poderemos dizer que S não é subespaço de V.

Agora é sua vez! Teste as três propriedades para ver se $S=\{(x,\,y) \in V \,|\, x+y = 0\}$ é subespaço de V.

por **drakonifor** » Qui Mar 17, 2011 18:30

Ora então:

(I) : (0,0) tal que 0+0=0? Sim

(II) : (x1,y1) + (x2,y2) (tal que x+y= 0) = (x1+x2, y1+y2);
Como (x y) tem de ser 0 significa que o X e o Y são 0 o que faz com que (x1+x2, y1+y2) seja 0 logo tambem está provado.

(III) : Qualquer valor multiplicado por 0 dá 0 logo a(x,y) será sempre igual a 0 por isso está provado que é subespaço.

Estão correctos os meus calculos?

por **LuizAquino** » Qui Mar 17, 2011 18:39

drakonifor escreveu:(ii) : (x1,y1) + (x2,y2) (tal que x+y= 0) = (x1+x2, y1+y2);
Como (x y) tem de ser 0 significa que o X e o Y são 0 o que faz com que (x1+x2, y1+y2) seja 0 logo tambem está provado.

Você está confundindo tudo! Se (x, y) está em S isso significa que x+y=0 e não que "x e o y são 0". Por exemplo, (1, -1) está em S, pois 1 + (-1) = 0, mas nem x e nem y são 0.

O que você tem que provar é que se (x1, y1) e (x2, y2) estão em S, então (x1+x2, y1+y2) também está em S. Ou seja, você tem que provar que (x1+x2)+(y1+y2)=0.

drakonifor escreveu:(III) : Qualquer valor multiplicado por 0 dá 0 logo a(x,y) será sempre igual a 0 por isso está provado que é subespaço.

Aqui você não justificou o que se quer! E ainda continua confundindo tudo!

O que você tem que provar é que se (x, y) está em S, então (kx, ky) também está em S. Ou seja, você tem que provar que kx+ky=0.

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