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equação geral da reta atraves de determinante

equação geral da reta atraves de determinante

Mensagempor Christianobelli » Qua Mai 28, 2008 09:31

Acho que todos sabem que podemos conseguir a equação geral da reta através de um determinante, se soubermos dois pontos da reta. Do seguinte modo:
para os pontos A(1,0) e B(0,1)
|x y 1|
|1 0 1|
|0 1 1|
ou seja, temos que colocar x e y e mais os dois pontos no determinante, completando a última coluna com 1.

Minha pergunta: Porque completar essa coluna com 1?

Aguardo resposta urgente, desde ja agradeço.
Christianobelli
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Re: equação geral da reta atraves de determinante

Mensagempor fabiosousa » Qua Mai 28, 2008 19:03

Olá Christianobelli, seja bem-vindo!

Ainda é necessário dizer que este determinante deve ser nulo para encontrarmos a equação geral da reta:

\begin{vmatrix}
   x & y & 1 \\ 
   1 & 0 & 1 \\
   0 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

Então, além da importância da sua pergunta, também valeria o comentário sobre o "zero".


Há um conjunto de argumentos que justificam esta coluna com 1.
Vamos caminhar por eles e após este percurso, sua pergunta estará respondida.

O primeiro passo é retornar um pouco no conceito da condição para alinhamento de três pontos.
De fato, sua pergunta surge nesta condição, pois a obtenção da equação da reta é nada mais do que a utilização deste teorema:

Três pontos A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) e C(x_3,y_3), são colineares se, e somente se:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & 1 \\
   x_2 & y_2 & 1 \\
   x_3 & y_2 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

Perceba que na obtenção da equação geral da reta, B e C são pontos distintos do plano cartesiano, de modo que x_2, y_2, x_3, y_3 são números reais (constantes) conhecidos. E se o ponto A(x_1, y_1) percorre a reta, então x_1 e y_1 são variáveis.
Esta condição de colinearidade entre os três pontos, é que nos permite obter a equação geral da reta daquela forma.

Então, agora podemos discutir sobre a coluna completada com 1, refletindo sobre a condição para alinhamento de três pontos.
Para isso, vamos procurar "descobrir" quais deveriam ser os números \alpha, \beta e \gamma:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & \alpha} \\
   x_2 & y_2 & \beta \\
   x_3 & y_2 & \gamma \\
\end{vmatrix} = 0


Devemos nos perguntar: quais as formas possíveis do alinhamento entre três pontos distintos, em relação aos eixos?

Há três possibilidades, em uma delas os A, B e C possuem a mesma ordenada, ou seja, estão alinhados horizontalmente, de modo que: y_1 = y_2 = y_3:
pontos_alinhados_horizontalmente.jpg


Lembrando de outra propriedade que também pode ser demonstrada é que se uma matriz M, de ordem n \geq 2, tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

Neste caso atual que estamos analisando, procuramos \alpha, \beta e \gamma que sejam respectivamente proporcionais a y_1, y_2 e y_3, mas y_1 = y_2 = y_3 = k, com k \in \Re, o que implica em \alpha = \beta = \gamma = 1 como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
A nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 2ª e 3ª colunas.



Em outra possibilidade, A, B e C possuem a mesma abscissa, ou seja, estão alinhados verticalmente, de modo que: x_1 = x_2 = x_3:
pontos_alinhados_verticalmente.jpg


Analogamente, neste caso, procuramos \alpha, \beta e \gamma que sejam respectivamente proporcionais a x_1, x_2 e x_3, mas x_1 = x_2 = x_3 = k, com k \in \Re, também implicando em \alpha = \beta = \gamma = 1 como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
Aqui, a nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 1ª e 3ª colunas.


A terceira possibilidade para o alinhamento dos pontos ocorre quando a reta que os contém, não é paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y:
pontos_alinhados_nao_paralelos_aos_eixos.jpg


Pela semelhança dos triângulos ABD e BCE, temos a seguinte proporção:
\frac{AD}{BE}=\frac{DB}{EC}

E utilizando as coordenadas:
\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

(x_2-x_1)\cdot(y_3-y_2)=(x_3-x_2)\cdot(y_2-y_1)

(x_2-x_1)\cdot(y_3-y_2) - (x_3-x_2)\cdot(y_2-y_1) = 0

Fazendo a distributiva:
x_2y_3 - x_2y_2 - x_1y_3 + x_1y_2 - (x_3y_2 - x_3y_1 - x_2y_2 + x_2y_1) = 0

x_2y_3 - \cancel{x_2y_2} - x_1y_3 + x_1y_2 - x_3y_2 + x_3y_1 + \cancel{x_2y_2} - x_2y_1 = 0

x_2y_3 - x_1y_3 + x_1y_2 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_2y_1 = 0 \;\;\;\;\; (I)


E comparando com o determinante, para obtermos \alpha, \beta e\gamma:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & \alpha} \\
   x_2 & y_2 & \beta \\
   x_3 & y_2 & \gamma \\
\end{vmatrix} = 
x_1y_2\gamma + y_1\beta x_3 + \alpha x_2x_3 - \alpha y_2x_3 - x_1\beta y_3 - y_1x_2\gamma

Para que D=0 e reordenando as parcelas:

\alpha x_2x_3  - x_1\beta y_3 + x_1y_2\gamma - \alpha y_2x_3 + y_1\beta x_3  - y_1x_2\gamma = 0 \;\;\;\;\; (II)

(I) e (II) \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 1.

Vale ressaltar que consideramos pontos A, B e C distintos.
Caso dois dos pontos sejam coincidentes, a matriz terá um par de linhas iguais, e, analogamente, a nulidade do determinante resultará que \alpha = \beta = \gamma = 1, da mesma forma.

Também cabe uma demonstração para a recíproca (volta \Leftarrow) do teorema que é verdadeira, ou seja, se D = 0, A, B e C são colineares.


Veja que além de termos provado o teorema (ida \Rightarrow) de que três pontos A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) e C(x_3,y_3), são colineares se, e somente se:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & 1 \\
   x_2 & y_2 & 1 \\
   x_3 & y_2 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

Fizemos o questionamento sobre \alpha, \beta e \gamma, supondo desconhecer que a 3º coluna possui os termos iguas a 1:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & \alpha \\
   x_2 & y_2 & \beta \\
   x_3 & y_2 & \gamma \\
\end{vmatrix}
= 0

E verificamos que para que as condições da colinearidade sejam atendidas, em todos os casos possíveis, necessariamente, \alpha = \beta = \gamma = 1.


Por fim, retornando ao caso da obtenção da equação geral da reta, conforme comentado, o que ocorre é uma utilização direta deste teorema, considerando que os dois pontos conhecidos (x_1, y_1) e (x_2, y_2) pentencem à reta.
Consideramos um ponto genérico (x,y) que percorre toda a reta e estabelecemos a condição de colinearidade do teorema aos outros dois conhecidos, ficando:

\begin{vmatrix}
   x & y & 1 \\ 
   x_1 & y_1 & 1 \\
   x_2 & y_2 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

O desenvolvimento deste determinante resultará na equação geral da reta:

\underbrace{(y_1-y_2)}_a\cdot x + \underbrace{(x_2-x_1)}_b\cdot y + \underbrace{(x_1y_2-x_2y_1)}_c = 0



Christianobelli, devo comentar que muitas vezes as perguntas mais simples não possuem respostas tão diretas.
De qualquer forma, espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: equação geral da reta atraves de determinante

Mensagempor joaoalvesneto » Qui Jul 23, 2009 22:07

Simplesmente ANIMALL!
adorei essa explicação
ficou super claro
puts valeu mesmo ein cara :y: :y: :y: :y: :y:
joaoalvesneto
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D