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equação geral da reta atraves de determinante

equação geral da reta atraves de determinante

Mensagempor Christianobelli » Qua Mai 28, 2008 09:31

Acho que todos sabem que podemos conseguir a equação geral da reta através de um determinante, se soubermos dois pontos da reta. Do seguinte modo:
para os pontos A(1,0) e B(0,1)
|x y 1|
|1 0 1|
|0 1 1|
ou seja, temos que colocar x e y e mais os dois pontos no determinante, completando a última coluna com 1.

Minha pergunta: Porque completar essa coluna com 1?

Aguardo resposta urgente, desde ja agradeço.
Christianobelli
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Re: equação geral da reta atraves de determinante

Mensagempor fabiosousa » Qua Mai 28, 2008 19:03

Olá Christianobelli, seja bem-vindo!

Ainda é necessário dizer que este determinante deve ser nulo para encontrarmos a equação geral da reta:

\begin{vmatrix}
   x & y & 1 \\ 
   1 & 0 & 1 \\
   0 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

Então, além da importância da sua pergunta, também valeria o comentário sobre o "zero".


Há um conjunto de argumentos que justificam esta coluna com 1.
Vamos caminhar por eles e após este percurso, sua pergunta estará respondida.

O primeiro passo é retornar um pouco no conceito da condição para alinhamento de três pontos.
De fato, sua pergunta surge nesta condição, pois a obtenção da equação da reta é nada mais do que a utilização deste teorema:

Três pontos A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) e C(x_3,y_3), são colineares se, e somente se:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & 1 \\
   x_2 & y_2 & 1 \\
   x_3 & y_2 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

Perceba que na obtenção da equação geral da reta, B e C são pontos distintos do plano cartesiano, de modo que x_2, y_2, x_3, y_3 são números reais (constantes) conhecidos. E se o ponto A(x_1, y_1) percorre a reta, então x_1 e y_1 são variáveis.
Esta condição de colinearidade entre os três pontos, é que nos permite obter a equação geral da reta daquela forma.

Então, agora podemos discutir sobre a coluna completada com 1, refletindo sobre a condição para alinhamento de três pontos.
Para isso, vamos procurar "descobrir" quais deveriam ser os números \alpha, \beta e \gamma:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & \alpha} \\
   x_2 & y_2 & \beta \\
   x_3 & y_2 & \gamma \\
\end{vmatrix} = 0


Devemos nos perguntar: quais as formas possíveis do alinhamento entre três pontos distintos, em relação aos eixos?

Há três possibilidades, em uma delas os A, B e C possuem a mesma ordenada, ou seja, estão alinhados horizontalmente, de modo que: y_1 = y_2 = y_3:
pontos_alinhados_horizontalmente.jpg


Lembrando de outra propriedade que também pode ser demonstrada é que se uma matriz M, de ordem n \geq 2, tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

Neste caso atual que estamos analisando, procuramos \alpha, \beta e \gamma que sejam respectivamente proporcionais a y_1, y_2 e y_3, mas y_1 = y_2 = y_3 = k, com k \in \Re, o que implica em \alpha = \beta = \gamma = 1 como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
A nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 2ª e 3ª colunas.



Em outra possibilidade, A, B e C possuem a mesma abscissa, ou seja, estão alinhados verticalmente, de modo que: x_1 = x_2 = x_3:
pontos_alinhados_verticalmente.jpg


Analogamente, neste caso, procuramos \alpha, \beta e \gamma que sejam respectivamente proporcionais a x_1, x_2 e x_3, mas x_1 = x_2 = x_3 = k, com k \in \Re, também implicando em \alpha = \beta = \gamma = 1 como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
Aqui, a nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 1ª e 3ª colunas.


A terceira possibilidade para o alinhamento dos pontos ocorre quando a reta que os contém, não é paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y:
pontos_alinhados_nao_paralelos_aos_eixos.jpg


Pela semelhança dos triângulos ABD e BCE, temos a seguinte proporção:
\frac{AD}{BE}=\frac{DB}{EC}

E utilizando as coordenadas:
\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

(x_2-x_1)\cdot(y_3-y_2)=(x_3-x_2)\cdot(y_2-y_1)

(x_2-x_1)\cdot(y_3-y_2) - (x_3-x_2)\cdot(y_2-y_1) = 0

Fazendo a distributiva:
x_2y_3 - x_2y_2 - x_1y_3 + x_1y_2 - (x_3y_2 - x_3y_1 - x_2y_2 + x_2y_1) = 0

x_2y_3 - \cancel{x_2y_2} - x_1y_3 + x_1y_2 - x_3y_2 + x_3y_1 + \cancel{x_2y_2} - x_2y_1 = 0

x_2y_3 - x_1y_3 + x_1y_2 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_2y_1 = 0 \;\;\;\;\; (I)


E comparando com o determinante, para obtermos \alpha, \beta e\gamma:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & \alpha} \\
   x_2 & y_2 & \beta \\
   x_3 & y_2 & \gamma \\
\end{vmatrix} = 
x_1y_2\gamma + y_1\beta x_3 + \alpha x_2x_3 - \alpha y_2x_3 - x_1\beta y_3 - y_1x_2\gamma

Para que D=0 e reordenando as parcelas:

\alpha x_2x_3  - x_1\beta y_3 + x_1y_2\gamma - \alpha y_2x_3 + y_1\beta x_3  - y_1x_2\gamma = 0 \;\;\;\;\; (II)

(I) e (II) \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 1.

Vale ressaltar que consideramos pontos A, B e C distintos.
Caso dois dos pontos sejam coincidentes, a matriz terá um par de linhas iguais, e, analogamente, a nulidade do determinante resultará que \alpha = \beta = \gamma = 1, da mesma forma.

Também cabe uma demonstração para a recíproca (volta \Leftarrow) do teorema que é verdadeira, ou seja, se D = 0, A, B e C são colineares.


Veja que além de termos provado o teorema (ida \Rightarrow) de que três pontos A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) e C(x_3,y_3), são colineares se, e somente se:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & 1 \\
   x_2 & y_2 & 1 \\
   x_3 & y_2 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

Fizemos o questionamento sobre \alpha, \beta e \gamma, supondo desconhecer que a 3º coluna possui os termos iguas a 1:

D =
\begin{vmatrix}
   x_1 & y_1 & \alpha \\
   x_2 & y_2 & \beta \\
   x_3 & y_2 & \gamma \\
\end{vmatrix}
= 0

E verificamos que para que as condições da colinearidade sejam atendidas, em todos os casos possíveis, necessariamente, \alpha = \beta = \gamma = 1.


Por fim, retornando ao caso da obtenção da equação geral da reta, conforme comentado, o que ocorre é uma utilização direta deste teorema, considerando que os dois pontos conhecidos (x_1, y_1) e (x_2, y_2) pentencem à reta.
Consideramos um ponto genérico (x,y) que percorre toda a reta e estabelecemos a condição de colinearidade do teorema aos outros dois conhecidos, ficando:

\begin{vmatrix}
   x & y & 1 \\ 
   x_1 & y_1 & 1 \\
   x_2 & y_2 & 1 \\
\end{vmatrix}
= 0

O desenvolvimento deste determinante resultará na equação geral da reta:

\underbrace{(y_1-y_2)}_a\cdot x + \underbrace{(x_2-x_1)}_b\cdot y + \underbrace{(x_1y_2-x_2y_1)}_c = 0



Christianobelli, devo comentar que muitas vezes as perguntas mais simples não possuem respostas tão diretas.
De qualquer forma, espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: equação geral da reta atraves de determinante

Mensagempor joaoalvesneto » Qui Jul 23, 2009 22:07

Simplesmente ANIMALL!
adorei essa explicação
ficou super claro
puts valeu mesmo ein cara :y: :y: :y: :y: :y:
joaoalvesneto
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.


cron