Geometria analítica : Vetor unitário ortogonal

por **isabellasimao** » Sáb Abr 11, 2020 15:37

Oii gente, primeira vez no fórum então me desculpem qualquer coisa, a questão é a seguinte:
Encontre um vetor unitário que seja ortogonal ao plano que passa pelos pontos A(1,1,0), B(1,0,1) e C(0,1,1).
O problema é que eu não sei nem por onde começar, eu sei fazer um vetor ortogonal que passa por esses pontos, mas eu não sei o que seria um "vetor unitário" e o que isso muda na resolução, se alguém puder me ajudar eu ficaria grata.

por **adauto martins** » Dom Abr 12, 2020 19:33

vamos tomar os vetores

AB=B-A=(1,0,1)-(1,1,0)=(1-1,0-1,1-0)=(0,-1,1)

AC=C-A=(0,1,1)-(1,1,0)=(0-1,1-1,1-0)=(-1,0,1)

AB e AC,teem que ser linearmente independentes(LI)

para verificar tal condiçao,teriamos que ter

$xAB+yAC=0 \Leftrightarrow x=y=0$
fica como exercicio...
entao suporemos AB,AC (LI)

o produto vetorial AB X AC é perpendicular(ortogonal) ao plano gerado por AB,AC
logo,vamos tomar

$v=AB X AC= \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} =(-i-j+0)-(k+0+0)=-i-j-k=(-1,-1,-1)$

o unitario de v é

${u}_{v}=(v/\left|v \right|) \left|v \right|=\sqrt[]{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt[]{3} {u}_{v}=(-1/\sqrt[]{3},-1/\sqrt[]{3},-1/\sqrt[]{3})$

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por **isabellasimao** » Qua Abr 15, 2020 15:14

adauto martins escreveu:vamos tomar os vetores

AB e AC,teem que ser linearmente independentes(LI)

para verificar tal condiçao,teriamos que ter

$xAB+yAC=0 \Leftrightarrow x=y=0$
fica como exercicio...
entao suporemos AB,AC (LI)

o produto vetorial AB X AC é perpendicular(ortogonal) ao plano gerado por AB,AC
logo,vamos tomar

$v=AB X AC= \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} =(-i-j+0)-(k+0+0)=-i-j-k=(-1,-1,-1)$

o unitario de v é

${u}_{v}=(v/\left|v \right|) \left|v \right|=\sqrt[]{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt[]{3} {u}_{v}=(-1/\sqrt[]{3},-1/\sqrt[]{3},-1/\sqrt[]{3})$

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