[Vetores] Dependência e Independência linear

[Eli Andrade]

Boa tarde! Resolvi uma questão sobre independência linear, mas no gabarito diz apenas se é verdadeira ou falsa, então gostaria de saber se respondi corretamente a seguinte questão:

Os vetores , e serão linearmente independentes desde que as constantes sejam ambas diferentes de zero.

Eu comecei a responder levantando as seguintes questões:
1. Sempre serão LI caso a condição "h, k ambas diferentes de zero" seja atendida?
2. Se apenas h ou apenas k for diferente de zero os vetores serão LI?
*Note que se os vetores forem LD mesmo que as constantes h, k sejam ambas diferentes de zero a questão será falsa

Primeiro calculei o determinante, tendo noção de que Det = 0 é LD e Det ? 0 é LI

A partir disso notei que se k = h o determinante seria ? 0, logo os vetores seriam LI. Caso k = -h, o determinante seria = 0, e os vetores LD.

Por fim, considerei k = 2, h = -2, tendo:


Com isso, conclui que mesmo que h,k sejam ambas diferentes de zero, os vetores não serão sempre LI, caso k = -h eles serão LD. Logo, a questão é FALSA.



Tenho mais duas perguntas acerca desse enunciado:
1) Como resolver essa questão a partir de sistemas? Calculei, mas não consegui concluir muita coisa com . Só tive a mesma noção ao fazer a combinação linear, considerando a condição que obtive a partir do determinante.

2) Existe um método mais rápido de responder questões como essa? Calculei sendo ambas igual a zero, ambas diferentes de zero e apenas uma sendo zero, antes de ter esse raciocínio.

Obrigada!