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[Vetores] Dependência e Independência linear

[Vetores] Dependência e Independência linear

Mensagempor Eli Andrade » Seg Fev 04, 2019 16:29

Boa tarde! Resolvi uma questão sobre independência linear, mas no gabarito diz apenas se é verdadeira ou falsa, então gostaria de saber se respondi corretamente a seguinte questão:

Os vetores \vec{a} = (1, h, 0) , \vec{b} = (1, 0, k) e \vec{c} = (0,1,1) serão linearmente independentes desde que as constantes h,k \in \bkRrm{\rm I\kern-.17em R} sejam ambas diferentes de zero.


Eu comecei a responder levantando as seguintes questões:
1. Sempre serão LI caso a condição "h, k ambas diferentes de zero" seja atendida?
2. Se apenas h ou apenas k for diferente de zero os vetores serão LI?
*Note que se os vetores forem LD mesmo que as constantes h, k sejam ambas diferentes de zero a questão será falsa

Primeiro calculei o determinante, tendo noção de que Det = 0 é LD e Det ≠ 0 é LI
\begin{vmatrix}
   1 & h & 0 \\ 
   1 & 0 & k \\ 
   0 & 1 & 1 \\ 
 
\end{vmatrix}
= -k -h
A partir disso notei que se k = h o determinante seria ≠ 0, logo os vetores seriam LI. Caso k = -h, o determinante seria = 0, e os vetores LD.

Por fim, considerei k = 2, h = -2, tendo:
\begin{vmatrix}
   1 & -2 & 0 \\ 
   1 & 0 & 2 \\ 
   0 & 1 & 1 \\ 
 
\end{vmatrix}
= -2 + 2 = 0

Com isso, conclui que mesmo que h,k sejam ambas diferentes de zero, os vetores não serão sempre LI, caso k = -h eles serão LD. Logo, a questão é FALSA.



Tenho mais duas perguntas acerca desse enunciado:
1) Como resolver essa questão a partir de sistemas? Calculei, mas não consegui concluir muita coisa com \begin{cases}
{a}_{1} + {a}_{2} = 0\\
{a}_{1}h + {a}_{3} = 0 \\
{a}_{2}k + {a}_{3} = 0 
\end{cases} . Só tive a mesma noção ao fazer a combinação linear, considerando a condição que obtive a partir do determinante.

2) Existe um método mais rápido de responder questões como essa? Calculei sendo ambas igual a zero, ambas diferentes de zero e apenas uma sendo zero, antes de ter esse raciocínio.

Obrigada!
Eli Andrade
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.