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UESB 2012 Geometria analítica

UESB 2012 Geometria analítica

Mensagempor Garibaldi » Ter Dez 01, 2015 18:40

No projeto para a expansão do sistema viário de uma cidade do sudoeste da Bahia, um arquiteto representou, em um plano cartesiano, um anel rodoviário pela equação x^{2} + y^{2} ? 6x ? 6y + 13 = 0 e uma estrada pela equação 2x ? y + k = 0.
Assim, o número de valores inteiros que k pode assumir, de modo que a estrada e o anel possuam duas interseções distintas, é

01) 9
02) 8
03) 7
04) 6
05) 5

Resp.:9

Obrigado pela ajuda!
Garibaldi
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Re: UESB 2012 Geometria analítica

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jan 31, 2016 21:02

Olá Garibaldi, boa noite!!

Para encontrar as intersecções devemos resolver o sistema formado pelas equações fornecidas no enunciado, veja:

Equação I: x² + y² - 6x - 6y + 13 = 0

Completemos os quadrados,

(x² - 6x) + (y² - 6y) + 13 = 0
(x - 3)² - 9 + (y - 3)² - 9 + 13 = 0
(x - 3)² + (y - 3)² = 5

Equação II: 2x - y + k = 0 ==> y = 2x + k

Substituindo-a na equação I, teremos:

(x - 3)² + (2x + k - 3)² = 5
x² - 6x + 9 + (4x² + k² + 9 + 4kx - 12x - 6k) - 5 = 0
5x² + (4k - 18)x + (k² - 6k + 13) = 0

A equação acima terá raízes reais e distintas se o discriminante for maior que zero. Daí, segue que:

{Delta} = (4k - 18)² - 20(k² - 6k + 13)
{Delta} = 16k² - 144k + 324 - 20k² + 120k - 260
{Delta} = - 4k² - 24k + 64

Mas, {Delta} > 0; ou seja,

- 4k² - 24k + 64 > 0
k² + 6k - 16 < 0
(k + 8)(k - 2) < 0

Estudando o sinal da inequação do 2º grau acima:

____-____(- 8)____+______(+ 2)____-_____

Concluímos que S = {x E R | - 8 < x < 2}. Isto é, S = {- 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}.

Espero ter ajudado!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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DanielFerreira
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}