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Geometria Analitica ( Vetor)

Geometria Analitica ( Vetor)

Mensagempor raf » Qui Jun 11, 2015 03:46

Estou com duvida na resolução desse exercicio:
Dados os vetores u= (1, -3, -1), v= (3, 2, -1), w= (-1, 1, 3) e a= (k+1, 2k, -3k). Determine k de modo que [(u + v) x (w - v)] x a= 4

Minha resolução:
[((1,-3,-1)+(3,2,-1)) x ((-1,1,3)-(3,2,1))] x (k+1,2k,-3k) = 4
[(4,-1,-2) x (-4,-1,2)] x (k+1,2k,-3k) = 4
(-16,1,-4) x (k+1,2k,-3k) = 4
-16k-16+2k+12k = 4
-2k-16 = 4
-2k = 16+4
k = 10
raf
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Re: Geometria Analitica ( Vetor)

Mensagempor nakagumahissao » Sex Jun 12, 2015 15:37

raf,


Na sua resulução você multiplicou os vetores usando o PRODUTO ESCALAR. Porém, o que está sendo pedido é um PRODUTO VETORIAL e o mesmo deverá ser resolvido da seguinte maneira:

Dados os vetores u= (1, -3, -1), v= (3, 2, -1), w= (-1, 1, 3) e a= (k+1, 2k, -3k). Determine k de modo que [(u + v) x (w - v)] x a= 4

u + v = (1, -3, -1) + (3, 2, -1) = (1 + 3, -3 + 2, -1 -1) = (4, -1, -2)
w - v = (-1, 1, 3) - (3, 2, -1) = (-1 -3, 1 -2, 3 + 1) = (-4, -1, 4)

o Produto vetorial de (u + v) x (w - v) deverá ser:

(u + v) \times (w - v) = \begin{vmatrix}
   i & j & k  \\ 
   4 & -1 & -2 \\
   -4 & -1 & 4 
\end{vmatrix} = i(-4 -2) - j(16 -8) + k(-4 - 4)

(u + v) \times (w - v) = -6i -8j -8k

Seja a= (p+1, 2p, -3p), onde p = k para que não existam confusões entre a variável k sendo procurada e o vetor k no determinante abaixo e ainda levando em consideração que o enunciado do problema esteja plenamente correto, teremos:

[(u + v) \times (w - v)] \times  a = 
\begin{vmatrix}
   i  & j  & k \\ 
   -6 & -8 & -8 \\
   p+1 & 2p & -3p 
\end{vmatrix} =

= i(24p + 16p) -j(18p + 8p + 8) + k(-12p + 8p + 8) =

= (40p)i - (26p + 8)j + (-4p + 8)k

Novamente, considerando que o enunciado do problema esteja plenamente correto e levando em consideração que [(u + v) x (w - v)] x a= 4 onde o valor 4 é um valor escalar, suponho que a igualdade se dá através do cálculo do modúlo do vetor resultante do cálculo à esquerda da equação. Sendo assim:

\left| ((40p), - (26p + 8), (-4p + 8)) \right| = 4

Calculando este módulo:

\sqrt[]{1600p^2 + 676p^2  + 256p + 64 + 16p^2 - 64p + 64 } = 4

2292 p^2 + 64 p + 112 = 0

Resolvendo esta equação, teremos:

p = k =−0.0139661605584642234+0.22061435382981476i
p = k =−0.013961605584642234−0.22061435382981476i

Acredito que para um exercício, este resultado é muito estranho. Poderia verificar se o enunciado que passou está realmente correto por favor? Principalmente na parte:

[(u + v) x (w - v)] x a= 4

Em algum lugar nesta equação não seria um Ponto (.) representando o produto escalar em vez do sinal de Vezes (Produto vetorial)?
Eu faço a diferença. E você?

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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?