[GA] Ângulos entre planos

por **Larissa28** » Dom Abr 05, 2015 10:03

Calcule os ângulos entre os planos diagonais (planos determinados pelas arestas opostas) do paralelogramo em que quatro vértices consecutivos são O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0) e C(0,1,1).

por **adauto martins** » Seg Abr 06, 2015 12:34

vamos tomar os planos diagonais do paralelogramo...
seja o plano determinado pelos pontos,OB, cujo vetor normal eh:
v=OBX(OA+OC)=i-j=(1,-1,0)

seja o plano determ.por AC, cujo vetor normal eh:
[tex]w=OBX(OC-OA)=i-j+2k=(1,-1,2)

...entao:
$v.w=\left|v \right|\left|w \right|cos(v,w)\Rightarrow cos(v,w)=v.w/(\left|v \right|.\left|w \right|)=(1,-1,0)(1,-1,2)/(2\sqrt[]{2})=1+1+0/2\sqrt[]{2}=1/\sqrt[]{2}=\sqrt[]{2}/2\Rightarrow (v,w)=arcos(\sqrt[]{2}/2)=\pi/4\Rightarrow (v,w)=45°$

por **adauto martins** » Qui Abr 09, 2015 16:32

oiii garota,essa minha soluçao nao esta correta,pois AC nao eh diagonal do paralelogramo solido...vou procurar resolve-lo e posto aqui,tbao...me desculpe...apareçaaaa...bons estudos

por **adauto martins** » Sex Abr 10, 2015 11:29

pelos dados do problema,temos q.
os ptos 0,A,B,C sao vertices de um pararalepido,mas o pto O,nao pertence a fase definida pelos ptos A,B,C...
pelo proprio enunciado podemops ter:D(0,0,1)eixo-z,E(0,1,0)eixo-y do pararalelpipedo,e esses ptos com os ptos dados sao suficientes p/resoluçao...
no primeiro octante temos:
ABCD definem uma face,OABE definem a fase no plano xy,logo...
os vetores OB,OC definem um plano diagonal,e AE,AC definem a outro plano diagonal...
logo, v=OBXOC...w=AEXAC...

sao os vetores normais a esses planos diagonais...entao... $v=OBXOC= \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}=i-j+k=(1,-1,1)$
w=AEXAC

= $\begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}=i-j=(1,-1,0)$ ,entao...
$v.w=\left|v \right|\left|w \right|cos(v,w)\Rightarrow cos(v,w)=v.w/(\left|v \right|\left|w \right|)$
$cos(v,w)=1.1+(-1).(-1)+1.0/(\sqrt[]{3}.\sqrt[]{2})=$ $\Rightarrow (v,w)=arcos(2/\sqrt[]{6})$
$(u,w)\simeq 66°$

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