Essa elipse e essa parábola se encontram?

[Gregorio Diniz]

Senhores, resolvi esta questão desenhando os gráficos.

Entretanto, me veio um dúvida: como resolver usando apenas álgebra. Não consegui.

Alguém poderia ajudar?

A questão é simplesmente determinar os pontos de encontro da elipse e da parábola .

A respostas é que a elipse e a parábola não se encontram, o que é bem fácil visualizando-se os gráficos.

Grato.

Gregório

[Russman]

Suponha que as curvas se encontrem em um ponto genérico . Se isto é verdade, então este ponto pertence as duas curvas simultaneamente! Assim, monta-se um sistema de equações



pois o ponto deve satisfazer ambas equações.

Esse sistema não-linear pode ser resolvido com substituição. Multiplique a 1° equação por 2 e substitua o da equação de baixo.


---> Só pra eliminar as frações
---> efetuamos a substituição


Obtivemos uma equação de 2° grau para a ordenada x do ponto. Esta equação possui duas raízes reais! Isto é, ainda existe a possibilidade de encontro entre as curvas. Porém, se você calcular estas raízes verá que elas encontram-se em um intervalo(aproximado) o que não gera raízes reais para y!

Da segunda equação, como para todo y é necessário que , temos

.

Assim, as raízes da equação obtida para x não estão dentro do intervalo necessário para a existência de y real!

Portanto tal ponto de encontro não existe.

[Gregorio Diniz]

Perfeito!
Muito boa a explicação.
Obrigado.
Gregório