Dúvida sobre circinferência

por **joao_neto** » Qua Set 25, 2013 00:07

(Unifor-CE) A equação da circunferência que contém a origem, tem centro na reta x=2 e tangencia a reta x + y -4 = 0 é:
a) x² + y² + 4x - 4y + 4 = 0
b) x² + y² - 2x + 2y = 0
c) x² + y² - 4x + 4y = 0
d) x² + y² + 4x - 4y = 0
e) x² + y² - 4x + 4y + 4 = 0

A minha dificuldade nessa questão está em achar o y do centro, afinal para qualquer valor de y x valeria 2, assim y poderia assumir qualquer valor?

por **Russman** » Qua Set 25, 2013 15:47

Primeiramente, para conter a origem a equação da circunferência deve se anular para (x,y)=(0,0). Certo? Então as alternativas a) e e) não podem ser as corretas. Agora, se o centro da circunferência está na reta x=2 então a coordenada x do centro é 2 e a equação pode ser escrita como

(x-2)^2 + (y-yo)^2 = R^2

.

Agora, já que os únicos termos qe tem x já estão expostos você deve deduzir q a opção correta é a letra c) pois somente ela tem "-4" multiplicando o x.

Porém, se você prefere resolver completamente a questão, podemos usar a infirmação de que x+y-4=0

é tangente a circunferência. Note que o raio

é a distância entre o centro e a própria reta. Portanto,

$R = \frac{2+y0-4}{\sqrt{2}} = \frac{-2+yo}{\sqrt{2}}$
$R^2 = \frac{(yo-2)^2}{2}$

e, assim

$x^2 - 4x + 4 + (y-yo)^2 = \frac{(yo-2)^2}{2}$

ou

x^2 +y^2 - 4x - 2yyo + yo^2 +4 = yo^2/2 - 2yo + 2