[Geometria Analítica] Dependência Linear.

por **Pessoa Estranha** » Sex Ago 02, 2013 16:14

Olá. Não estou conseguindo entender um exercício sobre vetores. O exercício diz o seguinte: "Prove que, se o vetor u é um múltiplo escalar do vetor v (u=k.v), então qualquer sequência que contém os vetores u e v é linearmente dependente (LD)". Bom, o meu raciocínio ficou assim: temos, por hipótese, que o vetor u é um múltiplo escalar do vetor v e, portanto, são paralelos e, logo, a sequência de vetores (u,v) é linearmente dependente (LD). Agora, temos que pensar no caso de uma sequência de três vetores e no caso com quatro ou mais vetores. Neste último, com quatro ou mais, por definição, sabemos que tal sequência é sempre linearmente dependente. Agora, o que eu não consigo entender é o caso de três vetores numa sequência. Teríamos que pensar numa sequência com, é claro, os vetores u e v, e acrescentar mais um, por exemplo, um vetor w. Assim, seria uma sequência (u, v, w) para provar que é LD. Porém, pelo que estudei, entendo que uma sequência com três vetores é LD quando todos os vetores em questão são paralelos à um mesmo plano; e são LI (linearmente independente) quando ocorre o contrário, se, por exemplo, o vetor w é não é paralelo ao mesmo plano que os outros dois vetores são. Sei também que existe uma proposição tal que diz que a sequência de vetores (u, v, w) é LD se, e somente se, um dos vetores é gerado pelos outros dois, no caso, w gerado por u e v. Eu acho que o certo é usar esta proposição para provar que a sequência é LD. Procurei saber como usar tal proposição e me disseram que devo usar o coeficiente igual a zero multiplicando o vetor w, mas eu não consigo entender como podemos simplesmente acrescentar o zero assim! (Parece uma questão boba, mas não entendo).

Obrigada!

por **e8group** » Sex Ago 02, 2013 21:35

Exercício interessante vamos ver o que sai ...

Considere $u_1 , \hdots , u_n$ vetores sobre um espaço vetorial

onde por simplicidade trocamos

por

e

por

vamos mostra que se (u_1,u_2 ) L.D. então a sequência ou n-upla $(u_1, \hdots , u_n ) L.D.$ . Suponhamos inicialmente que tenhamos uma combinação linear nula ,

$(*) \sum_{k=1}^{n} \alpha_k u = O_E$ (em que O_E

é o vetor nulo do espaço vetorial E ) .

Ora , sendo (u_1,u_2 ) L.D

, reescrevendo u_1 = ku_2

( $k\in \mathbb{R}$ ) temos :

$\sum_{k=1}^{n} \alpha_k u_k = O_E$ sse $(\alpha_1k + \alpha_2 )u_2 + \sum_{k=3}^{n} \alpha_k u_k = O_E$ . Se os vetores $u_i \hspace{15mm} (i=2,\hdots,n )$ são L.D. obteremos escalares não todos nulos satisfazendo (*)

chegando a conclusão que $(u_1, \hdots , u_n ) L.D$ ,caso eles são L.I. resulta ,

$(\alpha_1k + \alpha_2 )u_2 + \sum_{k=3}^{n} \alpha_k u_k = O_E$ sse

$\alpha_1k + \alpha_2 = \alpha_3 = \hdots = \alpha_n = 0$ .

A combinação linear nula (*)

se resume em

$\alpha_1u_1 + \alpha_2 u_2 = O_E$ , desde que por hipótese (u_1,u_2) L.D.

esta combinação linear nula admite solução além da trivial . Assim obtemos escalares $\alpha_1, \hdots , \alpha_n$ não todos nulos tais que ,

$\sum_{k=1}^{n} \alpha_k u = O_E$ e portanto $(u_1, \hdots , u_n ) L.D.$ .

por **Pessoa Estranha** » Sex Ago 02, 2013 21:58

Olá. Muito obrigada pela resposta, mas gostaria de saber se há outra maneira de resolver, pois ainda não aprendi somatória (estou no primeiro ano). Mesmo assim, muito obrigada; a sua resposta parece muito boa. Valeu!

por **e8group** » Sex Ago 02, 2013 22:08

Também estou no primeiro ano e sei quase nada de matemática .Apenas compactei uma soma . Observe :

$\sum_{k=1}^{n} \alpha_k u_1 = \alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \hdots + \alpha_nu_n$ .

Se este exercício trata-se de um exercício de geometria analítica ,pode considerar por exemplo $E = \mathbb{R} ^2$ ou $E = \mathbb{R} ^3$ ou generalizar $E = \mathbb{R} ^n$ . Mas em geral para espaços abstratos vale a solução (acredito ) .