[Reta perpendicular]

por **temujin** » Qua Mai 29, 2013 19:35

Verdadeiro ou falso:

A soma das coordenadas do ponto na curva y=x^2

, cuja reta perpendicular a ela passa por (14,1) é 6.

*-)

por **temujin** » Sáb Jun 29, 2013 15:14

Galera, estou dando um up nesta questão pra ver se de repente alguém consegue achar uma luz no fim do túnel... :lol:

( V ) A soma das coordenadas na curva y=x^2

, cuja reta perpendicular a ela passa por (14,1) é 6.

Eu comecei a esboçar uma resposta, achei uma solução no gráfico, mas não estou convencido se está certo. Vejamos:

Se a reta é perpendicular à curva, ela deve ser também perpendicular à reta tangente à curva no ponto em que elas se interceptam.

Como a derivada de x^2 = 2x

é uma função linear de x, elas se interceptam x=0 ou x=2. Com x=2, f(x)=4 e o ponto (2,4) responde à questão. Mas não consigo provar que neste ponto a reta é perpendicular à curva.

Alguma idéia??

*-)

por **temujin** » Seg Jul 15, 2013 20:04

Acho que eu finalmente consegui! Vou deixar aqui, caso interesse a mais alguém.

A reta que passa por (14,1) intercepta a parábola em dois pontos. Supondo que o item seja verdadeiro, deve valer:

$x+x^2=6 \Rightarrow x^2+x-6=0$

Cujas raízes são 2 e -3.

Testando primeiro $x=2 \Rightarrow y=4$ . Um vetor diretor da reta que passa por (2,4) e (14,1) é $\vec{u}=(-12,3)$ .

Agora, se a reta é perpendicular à curva, ela deve ser perpendicular à tangente neste ponto. Derivando:

y'(x)=2x

, e portanto, a reta tangente tem a forma y=4x+b

. Substituindo o ponto (2,4) temos que $4=4.2+b \Rightarrow b=-4 \Rightarrow y=4x-4$

Então, a reta tangente tem um vetor diretor $\vec{v} = (1,4)$

E $<\vec{u};\vec{v}> = (-12,3).(1,4)=0$

Portanto, as retas são perpendiculares.

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