[Projeção] Rete em plano dúvida

por **amigao** » Seg Mai 13, 2013 22:36

Por favor me ajudem.

Enunciado:Apresente equações paramétricas da projeção da reta r: { y=5x-7 // z= -2x+6 sobre o plano xy.

Eu pensei assim: Se é projeção sobre o plano xy o z=0, dai eu igualei isso no sistema para achar x e y, e resultou em x=3, y = 8, z = 0,

Dai eu montei a paramétrica com o vetor diretor v=(-3,8,0). Está certo eu fazer desse modo colocando o valor de z = 0?

por **LuizAquino** » Sex Mai 17, 2013 20:17

amigao escreveu:Por favor me ajudem.

Enunciado: Apresente equações paramétricas da projeção da reta r: { y=5x-7 // z= -2x+6 sobre o plano xy.

Eu pensei assim: Se é projeção sobre o plano xy o z=0, dai eu igualei isso no sistema para achar x e y, e resultou em x=3, y = 8, z = 0,

Dai eu montei a paramétrica com o vetor diretor v=(-3,8,0). Está certo eu fazer desse modo colocando o valor de z = 0?

O que você achou foi o ponto de interseção da reta r com o plano xy e não o vetor diretor da reta que é a projeção. Lembrando que este ponto será P = (3, 8, 0).

Vamos chamar de s a reta que é a projeção. Note que s também passa pelo ponto P. Desse modo, para montar as equações paramétricas de s falta apenas determinar um vetor diretor para ela. Para fazer isso, considere a figura abaixo.

: figura.png (7.92 KiB) Exibido 5646 vezes

Vamos chamar de $\pi$ o plano xy. A equação deste plano será z = 0.

Considere que $\vec{d}_r$ é um vetor diretor de r, $\vec{d}_s$ é um vetor diretor de s e $\vec{n}$ é um vetor normal de $\pi$ . Analisando a figura anterior, note que:

$\vec{d}_r = \vec{d}_s+\textrm{proj}_{\vec{n}}\,\vec{d}_r \implies \vec{d}_s = \vec{d}_r - \textrm{proj}_{\vec{n}}\,\vec{d}_r$

Agora basta calcular $\vec{d}_s$ usando o resultado acima.

Lembre-se que $\vec{d}_r = (1,\,5,\,-2)$ , $\vec{n} = (0,\,0,\,1)$ e $\textrm{proj}_{\vec{n}}\,\vec{d}_r = \dfrac{\vec{d}_r\cdot \vec{n}}{\vec{n}\cdot \vec{n}}\vec{n}$ .

Tente continuar o exercício a partir daí.

por **amigao** » Sáb Mai 18, 2013 20:15

LuizAquino escreveu:
amigao escreveu:Por favor me ajudem.

Enunciado: Apresente equações paramétricas da projeção da reta r: { y=5x-7 // z= -2x+6 sobre o plano xy.

Eu pensei assim: Se é projeção sobre o plano xy o z=0, dai eu igualei isso no sistema para achar x e y, e resultou em x=3, y = 8, z = 0,

Dai eu montei a paramétrica com o vetor diretor v=(-3,8,0). Está certo eu fazer desse modo colocando o valor de z = 0?

O que você achou foi o ponto de interseção da reta r com o plano xy e não o vetor diretor da reta que é a projeção. Lembrando que este ponto será P = (3, 8, 0).

Vamos chamar de s a reta que é a projeção. Note que s também passa pelo ponto P. Desse modo, para montar as equações paramétricas de s falta apenas determinar um vetor diretor para ela. Para fazer isso, considere a figura abaixo.

figura.png

Vamos chamar de $\pi$ o plano xy. A equação deste plano será z = 0.

Considere que $\vec{d}_r$ é um vetor diretor de r, $\vec{d}_s$ é um vetor diretor de s e $\vec{n}$ é um vetor normal de $\pi$ . Analisando a figura anterior, note que:

$\vec{d}_r = \vec{d}_s+\textrm{proj}_{\vec{n}}\,\vec{d}_r \implies \vec{d}_s = \vec{d}_r - \textrm{proj}_{\vec{n}}\,\vec{d}_r$

Agora basta calcular $\vec{d}_s$ usando o resultado acima.

Lembre-se que $\vec{d}_r = (1,\,5,\,-2)$ , $\vec{n} = (0,\,0,\,1)$ e $\textrm{proj}_{\vec{n}}\,\vec{d}_r = \dfrac{\vec{d}_r\cdot \vec{n}}{\vec{n}\cdot \vec{n}}\vec{n}$ .

Tente continuar o exercício a partir daí.

Muito obrigado, ajudou muito.
Abraço.

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