Plano - Ângulo

por **CloudP4** » Qui Jul 01, 2010 22:56

Boa noite, bem, não conseguir de jeito nenhum resolver esse exercício, todas as maneiras que tentei não consigo chegar ao resultado. É um exercício do livro do Paulo Winterle, Vetores e Geometria Analítica, Pag. 143, exercício 33, segue abaixo:

Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos

$\pi{}_{1}: x + my + 2z - 7 = 0$

e

$\pi{}_{2}: 4x + 5y + 3z + 2 = 0$

Ok, faço certinho, obtenho os 2 pontos e jogo na fórmula:

$cos \theta = \frac{|u . v|}{|u| . |v|}$

Porém de jeito nenhum chego a resposta, que é segundo o gabarito do livro, 1 ou 7

Alguém poderia ajudar?
Abraços.

por **MarceloFantini** » Sex Jul 02, 2010 04:00

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|4 \cdot 1 + 5 \cdot m + 3 \cdot 2|}{\sqrt {4^2 + 5^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + m^2 + 2^2}} = \frac{|10 + 5m|}{\sqrt {50 \cdot (5 + m^2)}} \Rightarrow \sqrt {750 + 150m^2} = 10|2+m| \Rightarrow \sqrt {750 + 150m^2} = 10 \sqrt {(2+m)^2} \Rightarrow 750 + 150m^2 = 100 (2+m^2)^2 \Rightarrow 15 + 3m^2 = 2(2+m^2)^2$

t = m^2

$15+3t = 2(2+t)^2 \Rightarrow 15 +3t = 8 + 8t + 2t^2 \Rightarrow 2t^2 +5t -7 =0$
$\Delta = 25 -4 \cdot 2 \cdot -7 = 81 \Rightarrow t = \frac{-5 \pm \sqrt {81}}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{-5 +9}{4} = 1 \quad \mbox{e} \quad t_2 = \frac{-5-9}{4} = -3,5 \quad \mbox{descarte}$

Logo: $1 = m^2 \Rightarrow m = 1 \quad \mbox{ou} \quad m = -1$

Não encontrei 7.

por **Tom** » Sex Jul 02, 2010 04:24

Fantini escreveu: $\sqrt {750 + 150m^2} = 10|2+m|$

Continuando:

Com Domínio em $\mathbb{R}$ , $\sqrt {750 + 150m^2}$ é sempre não-nulo, assim:

i)Para $m\ge2$ , temos:
$\sqrt {750 + 150m^2}=10(2+m)\rightarrow 750+150m^2=100(2+m)^2\rightarrow 15+3m^2=2(2+m)^2=$

$=15+3m^2=2(4+4m+m^2)\rightarrow 15+3m^2=8+8m+2m^2\rightarrow m^2-8m+7=0$ cujas raízes são: m_1=1

e

, ambas compreendidas na condição de contorno do intervalo.

ii) Para m<2

, temos:
$\sqrt {750 + 150m^2}=-10(2+m)\rightarrow 750+150m^2=100(2+m)^2\cdots$ que conduzirá às mesmas raízes do caso anterior, mas estas estarão, agora, fora do intervalo definido.

Assim, os valores que

pode assumir são: $m=\{1,7\}$