Geometria Analitica

por **Souo** » Seg Jul 20, 2015 13:57

Determine a equaç?o da reta que passa pelo ponto (1,-3) e é perpendicular à reta 2x - 3y +6 = 0

Alguém pode me ajudar?

por **nakagumahissao** » Seg Jul 20, 2015 19:35

Reescrevendo a equação da reta data, ficará:

$2x - 3y +6 = 0 \Rightarrow 3y = 2x + 6 \Rightarrow y = \frac{2x + 6}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 2$

Olhando para a equação que temos agora, vemos que a inclinação desta reta, que chamaremos de m é:

$y = \frac{2}{3}x + 2 \Rightarrow m = \frac{2}{3}$

Para que uma reta seja perpendicular à outra,

${m}_{1} = - \frac{1}{m}$

Então, a inclinação da reta perpendicular à reta dada será:

${m}_{1} = - \frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} \Rightarrow {m}_{1} = -\frac{3}{2}$

Como nos foi fornecido um ponto das duas retas por onde nossa reta perpendicular deverá passar, então teremos como equação da reta perpendicular que passa por este ponto (1, -3) como sendo:

$y - {y}_{0} = {m}_{1}\left(x - {x}_{0} \right)$

$y - (-3)= -\frac{3}{2 } \left(x - 1 \right)$

$y = -\frac{3}{2 }x + \frac{3}{2 } -3$

$y = -\frac{3}{2 }x + \frac{3-6}{2}$

Finalmente,

$y = -\frac{3}{2 }x - \frac{3}{2 }$

que é a equação da reta perpendicular à reta data 2x - 3y + 6 = 0 e que passa pelo ponto (1, -3).

$\blacksquare$

por **Souo** » Seg Jul 20, 2015 21:52

nakagumahissao escreveu:Reescrevendo a equação da reta data, ficará:

$2x - 3y +6 = 0 \Rightarrow 3y = 2x + 6 \Rightarrow y = \frac{2x + 6}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + 2$

Olhando para a equação que temos agora, vemos que a inclinação desta reta, que chamaremos de m é:

$y = \frac{2}{3}x + 2 \Rightarrow m = \frac{2}{3}$

Para que uma reta seja perpendicular à outra,

${m}_{1} = - \frac{1}{m}$

Então, a inclinação da reta perpendicular à reta dada será:

${m}_{1} = - \frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} \Rightarrow {m}_{1} = -\frac{3}{2}$

Como nos foi fornecido um ponto das duas retas por onde nossa reta perpendicular deverá passar, então teremos como equação da reta perpendicular que passa por este ponto (1, -3) como sendo:

$y - {y}_{0} = {m}_{1}\left(x - {x}_{0} \right)$

$y - (-3)= -\frac{3}{2 } \left(x - 1 \right)$

$y = -\frac{3}{2 }x + \frac{3}{2 } -3$

$y = -\frac{3}{2 }x + \frac{3-6}{2}$

Finalmente,

$y = -\frac{3}{2 }x - \frac{3}{2 }$

que é a equação da reta perpendicular à reta data 2x - 3y + 6 = 0 e que passa pelo ponto (1, -3).

$\blacksquare$

Ola, no gabarito diz que da 3x + 2y + 3 = 0, sera que o gabarito esta errado?

por **nakagumahissao** » Seg Jul 20, 2015 23:59

Os dois são a mesma coisa. Multiplique meu resultado por 2 em ambos os lados da equação e passe tudo para um lado da equação e você vai ver que o resultado ficará igual ao do gabarito.

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