Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

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Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

Mensagempor anapmarinho » Dom Out 20, 2013 17:25

Como eu resolvo o exercício?

Determine a equação da esfera que passa pelos pontos A=(2,3,-2), B=(1,0,-2) e C=(5,-1,-3) e possui centro no plano x-y+2z=-6
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Re: Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

Mensagempor e8group » Ter Out 22, 2013 20:22

Pensei da seguinte forma . Chamamos de \pi o plano dado . E suponhamos que M =(a,b,c) \in \pi seja o ponto médio da esfera .Ora ,se M =(a,b,c) \in \pi, então suas coordenadas satisfaz a equação do plano que é :

x-y+2z = -6 . Logo ,

a -b +2c = - 6 .

Além disso , a esfera é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto fixo M . Assim , um ponto P= (x,y,z) pertence a esfera se, e somente se ,

d(P,M) = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 } = r = \text{constante} , ou de forma equivalente

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2 .Por outro lado ,

utilizando os pontos dados , temos

r^2 = [d(A,M)]^2 = [d(B,M)]^2 ] = [d(C,M)]^2 ] , ou seja ,

r^2 = (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2 = (5-a)^2 + (-1-b)^2 + (-3-c)^2 . Através da igualdade (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2 e tendo em vista que os termos a^2 ,b^2,c^2 em ambos lados da igualdade se cancelem , obteremos :

4 - 4a + 9 -6b + 4 -4c = 1 -2a + 4 + 4c e isolando uma das variáveis como por exemplo "b" , segue

b = 2-a/3-(4 c)/3 , mas lembrando que a -b +2c = - 6, ou seja , b = a+2c - 6 ,então ,

2-a/3-(4 c)/3 = a+2c - 6 o que implica c = 12/5-(2 a)/5, substituindo esta expressão em b = a+2c - 6 , obterá b = 1/5 (-6+a) . Encontramos então as variáveis c,b em função de a . Para determinar a . Basta substituir c,b em a -b +2c = - 6 .

Tente concluir e comente as dúvidas .
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