[Geometria Analitica] Duvidas em alguns exercicios

por **Gustavo Reis** » Qui Jun 27, 2013 13:50

Oi, tive uma prova hoje pela manha e achei algumas respostas meio estranhas, tem como alguém me dizer se minhas respostas estão corretas? Obg.

1 - Descubra K1, K2 e K3 em (0,8,-8) = K1(5,-1,1) + K2(-4,3,2) + K3(-2,-5,8)

Achei o sistema abaixo
5K1 - 4K2 -2K3 = 0
-K1 + 3K2 - 5K3 = 8
K1 + 2K2 8K3 = -8

Fiz pelo método de Cramer e minha resposta final foi:
K1 = -16
K2 = -120
K3 = 200

Alguém sabe me dizer se eu acertei?

2 - Descubra um ponto P equidistante ao ponto A(7,-3,2) e B(3,5,-5) no eixo das abcissas

Nesse exercício eu fiz PA = PB e achei P(3/8,0,0)

Alguns colegas acharam um resultado diferente, alguém sabe esse?

por **DanielFerreira** » Sáb Jun 29, 2013 10:22

1)

$\\ (0, 8, - 8) = k_1(5, - 1, 1) + k_2(- 4, 3, 2) + k_3(- 2, - 5, 8) \\ (0, 8, - 8) = (5k_1 - 4k_2 - 2k_3, - k_1 + 3k_2 - 5k_3, k_1 + 2k_2 + 8k_3) \\ \begin{cases} 5k_1 - 4k_2 - 2k_3 = 0 \\ - k_1 + 3k_2 - 5k_3 = 8 \\ k_1 + 2k_2 + 8k_3 = - 8 \end{cases}$

Calculemos o determinante...

$\\ \begin{vmatrix} 5 & - 4 & - 2 \\ - 1 & 3 & - 5 \\ 1 & 2 & 8 \end{vmatrix} = D \\\\\\ D = \begin{vmatrix} 5 & - 4 & - 2 & | & 5 & - 4 \\ - 1 & 3 & - 5 & | & - 1 & 3 \\ 1 & 2 & 8 & | & 1 & 2 \end{vmatrix} \\\\ D = 120 + 20 + 4 + 6 + 50 - 32 \\ D = 168$

Calculemos D_x

que na verdade é $D_{k_1}$ :

$\\ \begin{vmatrix} 0 & - 4 & - 2 \\ 8 & 3 & - 5 \\ - 8 & 2 & 8 \end{vmatrix} = D_{k_1} \\\\\\ D_{k_1} = \begin{vmatrix} 0 & - 4 & - 2 & | & 0 & - 4 \\ 8 & 3 & - 5 & | & 8 & 3 \\ - 8 & 2 & 8 & | & - 8 & 2 \end{vmatrix} \\\\ D_{k_1} = 0 - 160 - 32 - 48 + 0 + 256 \\ D_{k_1} = 16$

Para encontrar o valor de k_1

devemos fazer $k_1 = \frac{D_{k_1}}{D}$ .

$\\ k_1 = \frac{D_{k_1}}{D} \Rightarrow k_1 = \frac{16^{\div 8}}{168^{\div 8}} \Rightarrow \boxed{k_1 = \frac{2}{21}}$

Calculemos D_y

que na verdade é $D_{k_2}$ :

$\\ \begin{vmatrix} 5 & 0 & - 2 \\ - 1 & 8 & - 5 \\ 1 & - 8 & 8 \end{vmatrix} = D_{k_2} \\\\\\ D_{k_2} = \begin{vmatrix} 5 & 0 & - 2 & | & 5 & 0 \\ - 1 & 8 & - 5 & | & - 1 & 8 \\ 1 & - 8 & 8 & | & 1 & - 8 \end{vmatrix} \\\\ D_{k_2} = 320 - 0 - 16 + 16 - 200 + 0 \\ D_{k_2} = 120$

Para encontrar o valor de k_2

devemos fazer $k_2 = \frac{D_{k_2}}{D}$ .

$\\ k_2 = \frac{D_{k_2}}{D} \Rightarrow k_2 = \frac{120^{\div 24}}{168^{\div 24}} \Rightarrow \boxed{k_2 = \frac{5}{7}}$

Para encontrar k_3

o raciocínio é análogo, tente concluir!

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