Determinar a equação geral da elipse com centro na origem, q

por **juniocs** » Qua Mai 29, 2013 15:31

Determinar a equação geral da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto
P=(1,1) e tem um foco F=( $\frac{\sqrt[]{6}}{2}$ , 0).

Utilizei a fórmula da distância d(P,F1) + d(P,F2) = 2a, para descobrir o valor de "a", mas não consigo terminar devido as frações.

por **LuizAquino** » Ter Jun 04, 2013 14:34

juniocs escreveu:Determinar a equação geral da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto
P=(1,1) e tem um foco F=( $\frac{\sqrt[]{6}}{2}$ , 0).

Utilizei a fórmula da distância d(P,F1) + d(P,F2) = 2a, para descobrir o valor de "a", mas não consigo terminar devido as frações.

Pelos dados do exercício, podemos dizer que os focos são $F_1 = \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2},\,0\right)$ e $F_2 = \left(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\,0\right)$ .

Como você mesmo já observou, da definição de elipse temos que:

$d(P,\,F_1) + d(P,\,F_2) = 2a$

Substituindo os valores dados, temos que:

$\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1\right)^2 + (0 - 1)^2} + \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}-1\right)^2 + (0 - 1)^2} = 2a$

$\sqrt{\left(\dfrac{-\sqrt{6} - 2}{2}\right)^2 + 1} + \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{6}-2}{2}\right)^2 + 1} = 2a$

$\sqrt{\left[\dfrac{(-1)\left(\sqrt{6} + 2\right)}{2}\right]^2 + 1} + \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{6}-2}{2}\right)^2 + 1} = 2a$

$\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{6} + 2\right)^2}{4} + 1} + \sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{6}-2\right)^2}{4} + 1} = 2a$

$\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{6}\right)^2 + 2\cdot \sqrt{6}\cdot 2 + 2^2}{4} + 1} + \sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{6}\right)^2 - 2\cdot \sqrt{6}\cdot 2 + 2^2}{4} + 1} = 2a$

$\sqrt{\dfrac{10 + 4\sqrt{6}}{4} + 1} + \sqrt{\dfrac{10 - 4\sqrt{6}}{4} + 1} = 2a$

$\sqrt{\dfrac{14 + 4\sqrt{6}}{4}} + \sqrt{\dfrac{14 - 4\sqrt{6}}{4}} = 2a$

$\dfrac{\sqrt{14 + 4\sqrt{6}}}{2} + \dfrac{\sqrt{14 - 4\sqrt{6}}}{2} = 2a$

$a = \dfrac{\sqrt{14 + 4\sqrt{6}} + \sqrt{14 - 4\sqrt{6}}}{4}$

Lembrando que a equação da elipse desejada terá o formato $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ , note que você precisa calcular a^2

. Neste caso, temos que:

$a^2 = \left(\dfrac{\sqrt{14 + 4\sqrt{6}} + \sqrt{14 - 4\sqrt{6}}}{4}\right)^2$

$a^2 = \dfrac{\left(\sqrt{14 + 4\sqrt{6}}\right)^2 + 2\left(\sqrt{14 + 4\sqrt{6}}\right)\left(\sqrt{14 - 4\sqrt{6}}\right) + \left(\sqrt{14 - 4\sqrt{6}}\right)^2}{16}$

$a^2 = \dfrac{\left(14 + 4\sqrt{6}\right) + 2\sqrt{\left(14 + 4\sqrt{6}\right)\left(14 - 4\sqrt{6}\right)} + \left(14 - 4\sqrt{6}\right)}{16}$

$a^2 = \dfrac{28 + 2\sqrt{14^2 - \left(4\sqrt{6}\right)^2}}{16}$

$a^2 = \dfrac{28 + 2\sqrt{196 - 16\cdot 6}}{16}$

$a^2 = \dfrac{28 + 2\sqrt{100}}{16}$

$a^2 = \dfrac{48}{16}$

a^2 = 3

Agora tente terminar o exercício a partir daí.

Observação 1

Já que você está com dificuldades em frações, eu sugiro que você assista a videoaula "Matemática Zero 2.0 - Aula 12 - Frações". Ela está disponível no canal:

http://www.youtube.com/nerckie

Observação 2

Você também poderia resolver o exercício através do sistema de equações:

$\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \\ b^2 + c^2 = a^2 \end{cases}\implies \begin{cases} \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = 1 \\ b^2 + \left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = a^2 \end{cases}$

Note que a primeira equação foi obtida ao substituir o ponto P = (1, 1) na equação da elipse. Já a segunda foi obtida substituindo a informação sobre o foco (ou seja, considerando que $c = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ).