[Equação de planos] Dùvida exercício 7

[MrJuniorFerr]

Estou com dúvida no seguinte exercício:

Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que contém os pontos A(2,0,0) e B(0,3,2)
Gabarito:

Resolvi da seguinte forma:
Como o plano é paralelo ao eixo z, sabe-se que o vetor é pertencente ao plano, mas no meu ponto de vista, este (0,0,1) também é um ponto pertencente ao plano, então usei C(0,0,1). Portanto agora tenho 3 pontos pertencentes ao plano.
Fazendo e , encontro 2 vetores coplanares e não colineares. Portanto, X
Após fazer o produto escalar dos 2 vetores, obtive que
Fazendo , encontro
Enfim, substituindo, a equação geral do plano que encontrei foi .

Alguém sabe me explicar o por quê do meu resultado estar diferente do gabarito e se a minha resolução está certa?
Obrigado

Edit:
Aproveitando o tópico, qual a diferença quando um plano é definido pelo eixo z ou o plano é paralelo ao eixo z?

[young_jedi]

o ponto C(0,0,1) não é pertencente o plano, voce tem que o vetor v=(0,0,1) é paralelo ao plano portanto os dois vetore que voce tem para achar a equação do plano são

e

fazendo o produto vetorial entre os dois voce encontra um vetor normal ao plano e com isso consegue determinar o plano

Um plano definido pelo exio z, é um plano que contem o exio z ou seja, qualquer ponto do tipo (0,0,z) pertence ao plano
ja um ponto paralelo ao eixo isso não ocorre, oque ocorre é que qualquer vetor do tipo (0,0,z) é paralelo ao plano, mais os pontos do tipo (0,0,z), não peretence ao plano.

[MarceloFantini]

Seu resultado está diferente do gabarito porque está errado. Um plano ser paralelo ao eixo significa que o vetor normal ao plano é ortogonal ao vetor diretor do eixo. Logo o vetor normal do plano será da forma e a equação geral do plano .

Substituindo os pontos temos e . O que o gabarito fez foi simplesmente facilitar a vida e tomar , de onde segue que e , tornando a equação do plano .