[´PLANO] Ponto de intersecção de reta com plano

por **manuel_pato1** » Ter Set 25, 2012 09:48

Sejam a reta r e o plano $\pi$ , dados por:

r: y=2x-3 / z=-x + 2 e $\pi$ : 2x+ 4y- z - 4=0

a - O ponto de interseção de r com o plano xOz
c - equações da reta interseção de $\pi$ com o plano xOy

**Na letra a, a resposta é: (3/2 , 0 , 1/2)

Essa resposta é exatamente o ponto que está na reta , pois quando a parametrizei , encontrei que x= 3/2 + t , y=2t, 1/1 -t.

Só que aí vem a minha dúvida. não entendi pq é o mesmo ponto da reta. Eu teria que ter a visão de que por ela apresentar um ponto nulo somente em y quer dizer que ela está no plano xOz?

***A letra c, eu realmente não sei começar =S , a resposta dela é: y= -1/2x +1 , z=0

Agradeço a quem conseguir me dar uma mão. Abraços

por **LuizAquino** » Ter Set 25, 2012 12:11

manuel_pato1 escreveu:Sejam a reta r e o plano $\pi$ , dados por:

r: y=2x-3 / z=-x + 2 e $\pi$ : 2x+ 4y- z - 4=0

a - O ponto de interseção de r com o plano xOz
c - equações da reta interseção de $\pi$ com o plano xOy

manuel_pato1 escreveu:**Na letra a, a resposta é: (3/2 , 0 , 1/2)

Essa resposta é exatamente o ponto que está na reta , pois quando a parametrizei , encontrei que x= 3/2 + t , y=2t, 1/1 -t.

Só que aí vem a minha dúvida. não entendi pq é o mesmo ponto da reta. Eu teria que ter a visão de que por ela apresentar um ponto nulo somente em y quer dizer que ela está no plano xOz?

Primeiro, uma observação: as equações paramétricas que você encontrou seriam x= 3/2 + t, y = 2t e z = 1/2 - t (note que você escreveu "1/1 - t" no final).

Agora pense um pouco: se o ponto está na interseção de r com o plano xOz, então é claro que esse ponto está ao mesmo tempo nessa reta e nesse plano.

Você já sabe que a equação do plano xOz é dada por y = 0. Portanto, todos os pontos desse plano possuem o formato (k, 0, m), sendo k e m escalares quaisquer.

Por outro lado, você obteve uma parametrização da reta r de tal modo que identificou que ela passa pelo ponto (3/2, 0, 1/2). Já que esse ponto tem o formato dos pontos no plano xOz, você já pode afirmar que ele também faz parte desse plano. Portanto, esse ponto está na interseção de r e xOz.

A questão aqui é que você achou uma parametrização conveniente, que já fornece diretamente o ponto que está na interseção. Mas você poderia ter achado outra parametrização que não acontece isso. Por exemplo, outras equações paramétricas para r seriam x = t, y = -3 + 2t e z = 2 - t. Nesse caso, sabemos imediatamente que a reta r passa pelo ponto (0, -3, 2). Mas esse ponto não pode estar no plano xOz. Para achar outro ponto de r que esteja nesse plano, basta lembrar que a equação do plano é y = 0. Sendo assim, teremos -3 + 2t = 0, de onde concluímos que em t = 3/2 a reta intercepta o plano. Substituindo esse valor de t nas equações paramétricas, obtemos x = 3/2, y = 0 e z = 1/2.

manuel_pato1 escreveu:***A letra c, eu realmente não sei começar =S , a resposta dela é: y= -1/2x +1 , z=0

Você já tem que a equação de $\pi$ é dada por 2x + 4y - z - 4 = 0. Por outro lado, você sabe que o plano xOy tem equação z = 0. Portanto, a reta de interseção entre esses planos (que aqui chamarei de s) será dada por:

$s\,:\,\begin{cases} 2x+ 4y- z - 4=0 \\ z = 0 \end{cases}$

Tente concluir o item c) considerando essas informações.