Volume de paralelepípedo - com faces contidas em planos

por **hygorvv** » Qua Jul 25, 2012 12:55

Olá galera, bom dia.
OBS: Sistema de coordenadas adotado ortogonal.

Dados os planos $\pi1: x-y=0$ , $\pi2: x+z=0$ , $\pi3: x-y+3z+3=0$ , mostre que $\pi1\cap\pi2\cap\pi3$ se reduz a um único ponto A (determine-o). Em seguida, calcule o volume do paralelepípedo que tem diagonal AH (H=(2,1,3)) e três faces contidas nos planos dados.

Resposta;
V=65/3 u.v

Bom, o ponto A eu descobri fazendo um sistema com as equações gerais dos planos $\pi1$ , $\pi2$ , $\pi3$ , agora o volume eu não consegui. Não consegui definir qual diagonal ele está se referindo. Em tempo, A=(1,1,-1).

Agradeço desde já.

por **LuizAquino** » Qua Jul 25, 2012 21:05

hygorvv escreveu:OBS: Sistema de coordenadas adotado ortogonal.

Dados os planos $\pi1: x-y=0$ , $\pi2: x+z=0$ , $\pi3: x-y+3z+3=0$ , mostre que $\pi1\cap\pi2\cap\pi3$ se reduz a um único ponto A (determine-o). Em seguida, calcule o volume do paralelepípedo que tem diagonal AH (H=(2,1,3)) e três faces contidas nos planos dados.

Resposta;
V=65/3 u.v

Bom, o ponto A eu descobri fazendo um sistema com as equações gerais dos planos $\pi1$ , $\pi2$ , $\pi3$ , agora o volume eu não consegui. Não consegui definir qual diagonal ele está se referindo. Em tempo, A=(1,1,-1).

Note que o ponto H não pertence a nenhum dos planos.

Nesse exercício temos uma situação como ilustra a figura abaixo.

: figura.png (9.47 KiB) Exibido 3390 vezes

Agora tente concluir o exercício a partir daí.

por **hygorvv** » Qui Jul 26, 2012 13:59

Colega, infelizmente, não consegui progredir. Na verdade, eu tinha até tentado isso mas travei igual agora. Se puder me dar outra dica, agradeceria.

por **LuizAquino** » Qui Jul 26, 2012 14:58

hygorvv escreveu:Colega, infelizmente, não consegui progredir. Na verdade, eu tinha até tentado isso mas travei igual agora. Se puder me dar outra dica, agradeceria.

Ok então. Vamos para a próxima dica!

Você já deve ter percebido que para resolver o exercício você precisa encontrar três vetores que partem de um mesmo vértice do paralelepípedo. Por exemplo, os vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ indicados na figura abaixo. A partir desse vetores, o volume do paralelepípedo será dado por $V =|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{w}|$ .

: figura1.png (17.82 KiB) Exibido 3379 vezes

Para determinar esses vetores, comece encontrado um vetor diretor para as seguintes retas:
1) reta r: interseção entre $\pi_1$ e $\pi_3$ ;
2) reta s: interseção entre $\pi_2$ e $\pi_3$ ;
3) reta t: interseção entre $\pi_1$ e $\pi_2$ ;

Vamos supor que esses vetores sejam $\vec{d}_r$ , $\vec{d}_s$ e $\vec{d}_t$ , respectivos a r, s e t nesta ordem.

Agora note que $\overrightarrow{AH} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ . Por outro lado, temos que existem escalares a, b e c tais que $\vec{u} = a\vec{d}_r$ , $\vec{v} = b\vec{d}_s$ e $\vec{w} = c\vec{d}_t$ .

Usando essas informações, tente concluir o exercício a partir daí.

por **hygorvv** » Qui Jul 26, 2012 15:42

Agora foi!!!!
Segue a resolução:
Equação Vetorial das retas
r: X=(0,0,-1)+k(1,1,0)

, $\vec{d_{r}}=(1,1,0)$
$s: X=(\frac{3}{2} , 0, \frac{-3}{2})+t(\frac{-1}{2} , 1 , \frac{1}{2})$ , $\vec{d_{s}}=(\frac{-1}{2} , 1 , \frac{1}{2})$
t: X=(0,0,0)+p(1,1,-1)

, $\vec{d_{t}}=(1,1,-1)$
$\vec{AH}=(1,0,4)$
Como $\vec{AH}$ é combinação linear dos vetores $\vec{d_{r}} , \vec{d_{s}} , \vec{d_{t}}$ , vem:
$\vec{AH}=a.\vec{d_{r}}+b.\vec{d_{s}}+c.\vec{d_{t}}$
Com isso, temos o sistema:
$1=a-\frac{b}{2}+c$
0=a+b+c

$4=\frac{b}{2}-c$
Resolvendo, encontramos a=5

, $b=\frac{-2}{3}$ , $c=\frac{-13}{3}$
Com isso:
$\vec{u}=(5,5,0)$
$\vec{v}=(\frac{2}{6} , \frac{-2}{3} , \frac{-2}{6})$
$\vec{w}=(\frac{-13}{3} , \frac{-13}{3} , \frac{13}{3})$

Fazendo o produto misto, obtemos:
$[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]=\frac{65}{3}$ , mas $|[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]|=V=\frac{65}{3} u.v$

Muito obrigado. Me ajudou bastante!