[Questão] Distância de ponto a reta

por **danielleecb** » Qui Jun 07, 2012 21:08

Coloquei na seção urgente porque o vestibular é no domingo e não verei meu professor até lá :|
A questão é a seguinte: Sabendo-se que os pontos P e Q pertencem a reta x=3 e estão a uma distância d =3 $\sqrt[]{2}$ u.c. da reta y= x +1, pode-se concluir que o segmento PQ mede, em u.c.:
a) 15
b) 12
c) 9
d)6
e)5

Eu tentei fazer pela fórmula de distancia de ponto a reta, e achei -XP+YP-1 =0 . Depois disso, empaquei. Não faço a mínima ideia pra onde isso vai... ele não me deu as coordenadas de nada. Sem falar que não entrou na minha cabeça como a distancia entre dois pontos de uma reta constante e um ponto de uma reta inclinada podem ser iguais... é isso. Sou péssima em analítica, tenho várias dúvidas nesse assunto e não queria perder uma questão assim se aparecer na prova. Se alguma boa alma puder me explicar, agradecerei eternamente

por **MarceloFantini** » Qui Jun 07, 2012 23:46

Se os pontos P e Q estão na reta x=3

, então

e

. Esta reta se encontra com a reta y=x+1

no ponto

. Podemos assumir que P está acima da reta y=x+1

e Q está abaixo, portanto b>4

e

.

Isto não é intuição divina, tanto faz a ordem dos pontos. O ponto Q poderia estar acima e o ponto P abaixo, foi uma questão de escolha.

Vamos procurar uma intuição geométrica sobre essa situação, e para isso procure desenhar o que eu disser. Faça os eixos cartesianos e desenhe as retas y=x+1

e

. Desenhe os pontos P e Q na segunda reta; trace dois segmentos perpendiculares à primeira, um começando em P e outro em Q. Como modelar isso matematicamente? Resposta: uma circunferência tangente. O raio foi dado: a distância é de $3 \sqrt{2}$ . Vamos escolher um dos pontos, por exemplo Q, e trabalhar com isso.

A equação da circunferência com centro em Q e raio $3 \sqrt{2}$ tem equação

$(x-3)^2 +(y-a)^2 = (3 \sqrt{2})^2 = 18$ .

Fazendo a interseção com a reta y=x+1

, vamos isolar x em função de y pois é o que queremos, daí

$x = y-1 \implies (x-3)^2 +(y-a)^2 = (y-1-3)^2 + (y-a)^2 = 18$

$\implies 2y^2 +(-2a-8)y+(a^2 -2) = 0$ .

Neste ponto é importante relembrar nossa observação acima: as circunferências são tangentes, isto significa apenas um ponto em comum. Numa equação de segundo grau, apenas uma raíz real distinta. Encontrando o discriminante e igualando à zero, segue

$\Delta = (-2a-8)^2 -4(2)(a^2 -2) =0 \implies a^2 -8a -20=0$ .

Transformando numa soma de quadrados,

$a^2 -8a +16 = 20 + 16 \implies a^2 -8a +16 = (a-4)^2 = 36 = 6^2$

e finalmente

$a -4 = \pm 6 \implies a = 4 \pm 6$ .

Os pontos que queremos são P = (3, 4+6) = (3,10)