[Cálculo com Geometria Analítica] Vetores Tangente e Normal

por **vmouc** » Seg Mai 07, 2012 13:54

Gostaria de uma ajuda na questão abaixo:

Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t):

$r\left(t \right)= \left({t}^{2},2t, ln (t) \right)$

Comecei fazendo da seguinte forma:

$(x`= 2t), (y`=2), (z`= \frac{1}{t})$

$\left|r` \right|=\sqrt[]{(2t)^2 + (2)^2 + (\frac{1}{t})^2}$
$\left|r` \right|=\sqrt[]{[(2t)^2 + (2)^2 + (\frac{1}{t})^2}] . t^2$
$\left|r` \right|= \sqrt[]{4t^4 + 4t^2 + 1}$

$T= (\frac{2t}{\sqrt[]{4t^4+4t^2+1}}, \frac{2}{\sqrt[]{4t^4+4t^2+1}}, \frac{1}{\sqrt[]{4t^4+4t^2+1}})$

O vetor tangente unitário seria representado assim?

por **vmouc** » Seg Mai 07, 2012 14:15

Agora o vetor normal unitário: $N= \frac{T'}{\left|T' \right|}$

Fiz o seguinte:

$X_T=( \frac{2t}{\sqrt[]{4t^4 + 4t^2 + 1}})^2$

$X_T=( \frac{4t^2}{4t^4+4t^2+1})$

${X}_{T}= (4t^2)(4t^4+4t^2+1)^{-1}$

${X'}_{T}= (8t)(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(4t^2)(-1)(4t^4+4t^2+1)^{-2}(16t^3+8t)$

${X'}_{T}= (8t)(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(-64t^5-32t^3)(4t^4+4t^2+1)^{-2}$

$Y_T= (\frac{4}{4t^4+4t^2+1})$

${Y'}_{T}=(4)(-1)(4t^4+4t^2+1)^{-2}(16t^3+8t)$

${Y'}_{T}=(4t^4+4t^2+1)^{-2}(-64t^3-32t)$

$Z_T= \frac{{t}^{-2}}{4t^4+4t^2+1}$

${Z}_{T}= (t^{-2})(4t^4+4t^2+1)^{-1}$

${Z'}_{T}= (-2t^{-3})(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(t^{-2})(-1)(4t^4+4t^2+1)^{-2}(16t^3+8t)$

${Z'}_{T}= (-2t^{-3})(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(4t^4+4t^2+1)^{-2}(-16t-8t^{-1})$

por **LuizAquino** » Seg Mai 07, 2012 21:18

vmouc escreveu:Gostaria de uma ajuda na questão abaixo:

Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t):

$r\left(t \right)= \left({t}^{2},2t, ln (t) \right)$

Comecei fazendo da seguinte forma:

$(x`= 2t), (y`=2), (z`= \frac{1}{t})$

$\left|r` \right|=\sqrt[]{(2t)^2 + (2)^2 + (\frac{1}{t})^2}$
$\left|r` \right|=\sqrt[]{[(2t)^2 + (2)^2 + (\frac{1}{t})^2}] . t^2$
$\left|r` \right|= \sqrt[]{4t^4 + 4t^2 + 1}$

$T= (\frac{2t}{\sqrt[]{4t^4+4t^2+1}}, \frac{2}{\sqrt[]{4t^4+4t^2+1}}, \frac{1}{\sqrt[]{4t^4+4t^2+1}})$

O vetor tangente unitário seria representado assim?

vmouc escreveu:Agora o vetor normal unitário: $N= \frac{T'}{\left|T' \right|}$

Fiz o seguinte:

$X_T=( \frac{2t}{\sqrt[]{4t^4 + 4t^2 + 1}})^2$

$X_T=( \frac{4t^2}{4t^4+4t^2+1})$

${X}_{T}= (4t^2)(4t^4+4t^2+1)^{-1}$

${X'}_{T}= (8t)(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(4t^2)(-1)(4t^4+4t^2+1)^{-2}(16t^3+8t)$

${X'}_{T}= (8t)(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(-64t^5-32t^3)(4t^4+4t^2+1)^{-2}$

$Y_T= (\frac{4}{4t^4+4t^2+1})$

${Y'}_{T}=(4)(-1)(4t^4+4t^2+1)^{-2}(16t^3+8t)$

${Y'}_{T}=(4t^4+4t^2+1)^{-2}(-64t^3-32t)$

$Z_T= \frac{{t}^{-2}}{4t^4+4t^2+1}$

${Z}_{T}= (t^{-2})(4t^4+4t^2+1)^{-1}$

${Z'}_{T}= (-2t^{-3})(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(t^{-2})(-1)(4t^4+4t^2+1)^{-2}(16t^3+8t)$

${Z'}_{T}= (-2t^{-3})(4t^4+4t^2+1)^{-1}+(4t^4+4t^2+1)^{-2}(-16t-8t^{-1})$

Note que:

$\|r^\prime\left(t \right)\|= \sqrt{(2t)^2 + 2^2 + \left(\frac{1}{t}\right)^2}$

$\|r^\prime\left(t \right)\|= \sqrt{4t^2 + 4 + \frac{1}{t^2}}$

$\|r^\prime\left(t \right)\|= \sqrt{\frac{4t^4 + 4t^2 + 1}{t^2}}$

$\|r^\prime\left(t \right)\|= \sqrt{\frac{\left(2t^2 + 1\right)^2}{t^2}}$

Como t > 0, temos que:

$\|r^\prime\left(t \right)\|= \frac{2t^2 + 1}{t}$

Agora tente continuar o exercício.

por **vmouc** » Seg Mai 07, 2012 22:25

Meu Deus, não acredito! kkkkk... como faço para ver essas manipulações algébricas? Tem horas que elas somem da vista!

por **LuizAquino** » Seg Mai 07, 2012 22:28

vmouc escreveu:como faço para ver essas manipulações algébricas?

A prática ajuda muito. Treinar é uma boa ideia.

por **vmouc** » Seg Mai 07, 2012 23:05

$N=\frac{T}{\left|T' \right|}$ ${y'}_{T}= \frac{-12t^2-2}{(2t^3+t)^2}$ Continuando de onde você me esclareceu:

$\left|r'(t) \right|= \frac{2t^2+1}{t}$

$T=(\frac{2t}{2t^3 + t}, \frac{2}{2t^3 + t}, \frac{t}{2t^3+t})$

${x'}_{T}= (2)(2t^3+t)^{-1}+(2t)(-1)(2t^3+t)^{-2}(6t+1)$

${x}_{T}= \frac{2}{2t^3+t}+\frac{(-12t^2-2t)}{(2t^3+t)^2}$

${y'}_{T}=\frac{-12t^2-2}{(2t^3+t)^2}$

${z'}_{T}= \frac{1}{2t^2+t}-\frac{(4t^2+t)}{(2t^2+t)^2}$

$N=\frac{T}{\left|T' \right|}$

$\left|T' \right| = \sqrt[]{({x'}_{T})^2+({y'}_{T})^2+({z'}_{T})^2}$

será isto? Se sim, vai ficar gigante.

por **LuizAquino** » Ter Mai 08, 2012 10:57

vmouc escreveu: $N=\frac{T}{\left|T' \right|}$ ${y'}_{T}= \frac{-12t^2-2}{(2t^3+t)^2}$ Continuando de onde você me esclareceu:

$\left|r'(t) \right|= \frac{2t^2+1}{t}$

$T=(\frac{2t}{2t^3 + t}, \frac{2}{2t^3 + t}, \frac{t}{2t^3+t})$

Você precisa prestar mais atenção no que está fazendo!

Note que:

$T(t) = \frac{r^\prime(t)}{\|r^\prime(t)\|} = \left(\frac{2t}{\frac{2t^2 + 1}{t}},\, \frac{2}{\frac{2t^2 + 1}{t}},\, \frac{\frac{1}{t}}{\frac{2t^2 + 1}{t}}\right) = \left(\frac{2t^2}{2t^2 + 1},\, \frac{2t}{2t^2 + 1},\, \frac{1}{2t^2 + 1}\right)$

Agora tente continuar.

Para calcular a derivada de cada coordenada, aplique a regra do quociente.

Detalhe: não se assuste com o "tamanho" das expressões.