produto vetorial ( calculo da area)

por **ubelima** » Sáb Abr 28, 2012 09:39

Ola, estou com dificuldade em determinar a area de um triangulo. a questão apresentam um triângulo ABC com seus pontos medios M(0,1,3), N(3,-2,2) e P(1,0,2).

Desenhei o triangulo, relacionei os dados com diversa formulas, mas sem sucesso.

Se alguem puder me orientar, agradeço o apoio.

por **Guill** » Sáb Abr 28, 2012 10:05

Primeiramente, sabemos que o triângulo ABC é compostro por três lados, AB, BC e AC. Sabemos também que a área de um triângulo é a metade do produto da base pela altura.

Uma vez que temos os pontos médios dos lados como:

M = (0 ; 1 ; 3) ---> Ponto médio de AB
N = (3 ; -2 ; 2) ---> Ponto médio de AC
P = (1 ; 0 ; 2) ---> Ponto médio de BC

Suponhamos os vetores A, B e C tais que:

$A = ({a}_{1} ; {a}_{2} ; {a}_{3}) B = ({b}_{1} ; {b}_{2} ; {b}_{3}) C = ({c}_{1} ; {c}_{2} ; {c}_{3})$

Fica claro que:

$AB = ({a}_{1}-{b}_{1} ; {a}_{2}-{b}_{2} ; {a}_{3}-{b}_{3})=(0;2;6)$

$AC = ({a}_{1}-{c}_{1} ; {a}_{2}-{c}_{2} ; {a}_{3}-{c}_{3})=(6;-4;4)$

$BC = ({b}_{1}-{c}_{1} ; {b}_{2}-{c}_{2} ; {b}_{3}-{c}_{3})=(2;0;4)$

Resolvendo o sistema por igualdade de vetores, encontraremos todos os valores dos vetores. Depois disso, basta calcular o comprimento de cada um dos lados desse triângulo e usar a relação:

$Área = \sqrt[]{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados do triâgulo.

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Re: produto vetorial ( calculo da area)

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