[Subespaço Vetorial] Polinômio

por **leandro_aur** » Dom Mar 04, 2012 16:41

Galera, tenho uma dúvida aqui em um exercício que surgiu. A questão pede o seguinte:

Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso não sejam especificadas, as operações são as usuais.

Então galera, o ítem que não consegui provar é o seguinte:

$V= {P}_{n}(R), W={p\in {P}_{n}(R) ; p(0)=p(1)}$

Se fosse p(0)=0 eu poderia usar as demonstrações usuais, só que assim eu já não sei... Alguém pode dar uma ajuda? Valeu

por **MarceloFantini** » Dom Mar 04, 2012 17:04

Para provar que isto é subespaço basta mostrar que qualquer combinação linear de polinômios avaliados em zero terão a mesma avaliação quando avaliados em um. Veja:

(cf +g)(0) = (cf)(0) + g(0) = c(f(0)) + g(0) =

(cf +g)(0) = (cf)(0) + g(0) = c(f(0)) + g(0) =

= c(f(1)) + g(1) = (cf)(1) + g(1) = (cf+g)(1)

.

Daí é subespaço. Veja que da segunda para a terceira igualdades eu apenas usei que se

e

pertencem ao espaço, sua avalição em zero é igual sua avalição em um.

por **leandro_aur** » Dom Mar 04, 2012 17:09

Entendi, então só fazer a demonstração comum e provar que se p(0)=p(1) portanto as demonstrações de existencia de subespaço para 0 são as mesmas que para 1.

Obrigado.