[Eq. Geral do plano] perpendicular a uma reta

por **ilariun** » Qua Nov 23, 2011 10:45

Bom dia tentei de diversas formas resolver essa equaçao mais nda da certo por tanto gostaria da ajuda de vcs

Encontrar a equaçao geral do plano que pertence ao ponto M (123) e é perpendicular a reta R de equaçao X=(410)+N.(111)

GRATO

por **LuizAquino** » Qua Nov 23, 2011 21:02

ilariun escreveu:Encontrar a equaçao geral do plano que pertence ao ponto M (123) e é perpendicular a reta R de equaçao X=(410)+N.(111)

Primeiro, não faz sentido dizer que um plano pertence a um ponto.

O que podemos dizer é o contrário, isto é, que um ponto pertence a um plano.

Ou ainda, que um plano contém um ponto.

Nesse contexto, o enunciado do exercício deveria ser algo como:

Encontrar a equaçao geral do plano que contém o ponto M=(1, 2, 3) e é perpendicular a reta r de equaçao X=(4, 1, 0) + n(1, 1, 1).

Sabemos que a equação geral de um plano que contém o ponto $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ e tem vetor normal $\vec{n}=(a,\,b,\,c)$ , é dada por:

a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0

Se o plano é perpendicular a reta r, então o vetor normal do plano é paralelo ao vetor diretor da reta.

Ou seja, se $\vec{n}$ é o vetor normal do plano e $\vec{d}$ é o vetor diretor da reta, então $\vec{n}=k\vec{d}$ , para algum escalar k.

Note que o vetor diretor da reta r é $\vec{d} = (1,\,1,\,1)$ .

Tomando k = 1, temos então que um vetor normal pode ser $\vec{n} = 1\cdot (1,\, 1,\, 1) = (1,\, 1,\, 1)$ .

Por outro lado, o plano contém o ponto M=(1, 2, 3).

Portanto, a equação geral do plano será:

$1\cdot (x-1) + 1\cdot (y-2) + 1\cdot (z-3) = 0$

x + y + z - 6 = 0