coordenadas cartesianas

por **Priscila_moraes** » Dom Nov 20, 2011 23:29

Olá pessoal precisa da ajuda de vocês como posso transformas a equação abaixo em coordenada cartesiana e identificar sua curva
$r=cos\theta$

e

$r=\frac{1}{cos\theta+sen\theta}$

por **LuizAquino** » Seg Nov 21, 2011 13:45

Priscila_moraes escreveu:Olá pessoal precisa da ajuda de vocês como posso transformas a equação abaixo em coordenada cartesiana e identificar sua curva
$r=\cos\theta$

e

$r=\frac{1}{\cos\theta+\,\textrm{sen}\,\theta}$

Lembre-se que as relações entre o ponto $P=(r,\, \theta)$ em coordenadas polares com o seu equivalente $P=(x,\, y)$ em coordenadas cartesianas são:

(i) $x = r\cos \theta$ ;

(ii) $y = r\,\textrm{sen}\,\theta$ ;

(iii) $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ;

(iv) $\theta = \textrm{arctg}\, \frac{y}{x}$ , caso $x\neq 0$ .

Para transformar as equações dadas em coordenadas polares para as suas equivalentes em coordenadas cartesianas, você deve fazer manipulações para fazer aparecer as relações acima.

Por exemplo, considere a primeira equação:

$r=\cos\theta$

Multiplicando toda a equação por r, temos que:

$r^2 = r\cos\theta$

Lembrando-se das relações (i) e (iii), temos que:

x^2 + y^2 = x

Completando quadrados em relação a variável x, temos que:

$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + y^2 = 0$

$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

Essa equação representa uma circunferência de raio 1/2 e centro (1/2, 0).

Agora tente transformar a segunda equação. Comece percebendo que:

$r = \frac{1}{\cos\theta+\,\textrm{sen}\,\theta} \Rightarrow r\left(\cos\theta+\,\textrm{sen}\,\theta\right) = 1$

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