Encontrar a Equação Geral do Plano

por **Vitor2+** » Seg Nov 14, 2011 02:21

Olá, Bom Dia! Gostaria de sanar uma dúvida referente a questão abaixo. Desenvolvi alguns passos e encontrei a equação geral do plano. Só não sei se realmente segui os passos corretamente. Também gostaria de saber quanto a reta interseção do plano com o plano yoz, quais os passos que devo utilizar para encontrar a equação desta reta. A questão está logo abaixo, juntamente com a resposta que desenvolvi.

QUESTÃO:
Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto A(1,2,1) e a reta interseção do plano com o plano yoz.

RESOLUÇÃO
1) Atribuir outros pontos para este plano. Sendo assim temos: A(1, 2, 1), B(0, 0, 1) e C(0, 0, 5). Os pontos B e C, são pontos que pertencem ao plano y0z e x=0.
2) Achar os vetores: AB = B-A = (-1, -2, 0) e AC= C-A = (-1, -2, 4)
3) Verificar se são linearmente independentes: AB= a x AC ? (-1, -2, 0) = a x (-1, -2, 4). Neste caso, a = 1, a = 1 e a = 0. São linearmente independentes.
4) Verificar a norma: AB x AC = det $\begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & -2 & 0 \\ -1 & -2 & 4 \end{vmatrix}$ . Não pode ser nulo, pois, são linearmente independentes.
Logo AB x AC = -8i+4j+0K ? Norma (-8, 4, 0)
5) Achar d: $\alpha$ : -8x+4y+d = 0. Substituir o ponto A(1, 2, 1) na equação. -8.(1)+4.(2)+d=0. Sendo assim, d=0.
6) Encontrar a equação geral do plano: $\alpha$ : -8x+4y=0.

Alguém pode me informar se estes procedimentos estão corretos? Como faço para achar a equação da reta interseção do plano com o plano yoz?

Agradeço.

por **LuizAquino** » Seg Nov 14, 2011 21:46

Vitor2+ escreveu:QUESTÃO:
Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto A(1,2,1) e a reta interseção do plano com o plano yoz.

Provavelmente o enunciado do exercício está incompleto. Deveria haver um outro plano, cujo a interseção com o plano yoz seria uma reta.

Isto é, o exercício poderia ser algo do tipo:

Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto A(1, 2, 1) e a reta interseção do plano x + y + z = 0 com o plano yoz.

Por favor, confira o enunciado do exercício.

por **Vitor2+** » Seg Nov 14, 2011 22:22

Verificarei o enunciado. Mas conforme foi encaminhado, a questão só tinha exatamente isso. Também achei estranho. Irei verificar. Agradeço.

por **Vitor2+** » Seg Nov 14, 2011 22:37

Realmente, estava faltando informação na questão. Ratificando:

QUESTÃO:

Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto P(1,2,1) e a reta interseção do plano ?:x-2y+z-3=0 com o plano yoz.

Tentarei responder novamente e postarei para saber se estou resolvendo corretamente. Agradeço.

por **Vitor2+** » Ter Nov 15, 2011 12:33

Tentei resolver. Mas não consegui achar o outro vetor resultante para dar continuidade a questão. Teria como me ajudar?

QUESTÃO:
Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto A(1,2,1) e a reta interseção do plano ?:x-2y+z-3=0 com o plano yoz

RESOLUÇÃO
1) x=0
2)x-2y+z-3=0 ? 0-2y+z-3=0 ? z=2y+3 (Equação da Reta)
3)Utilizando as equações parametricas eu encontro um segundo ponto: P(0,0,3)
4)AP = P-A = )0,0,3) - (1,2,1) = (-1,-2,2). Chamarei esse vetor de vetor 2 (V2)
5)Encontrar o vetor 1.
(a, b, c) ? (1, -2, 1)
Só não consigo encontrar os outros valores que (a, b, c) assumem para encontrar o vetor 1 (V1) e dar continuidade a questão.
6) V1xV2=det $\begin{vmatrix} i & j & k \\ V1 & V1 & V1 \\ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

Fiquei travado neste ponto. Será que alguém pode me ajudar?

Alguém pode me informar se estes procedimentos estão corretos? Como faço para achar a equação da reta interseção do plano com o plano yoz?

Agradeço.

por **LuizAquino** » Ter Nov 15, 2011 14:28

Vitor2+ escreveu:QUESTÃO:
Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto A(1,2,1) e a reta interseção do plano ?:x-2y+z-3=0 com o plano yoz

Vitor2+ escreveu:RESOLUÇÃO
1) x=0

Ok. Este é o plano yOz.

Vitor2+ escreveu:2) x-2y+z-3=0 ? 0-2y+z-3=0 ? z=2y+3 (Equação da Reta)

Ok. Esta é a reta que é a interseção entre os planos x=0 e x-2y+z-3=0.

Vitor2+ escreveu:3) Utilizando as equações parametricas eu encontro um segundo ponto: P(0,0,3)

Ok. Mas note que a questão começa dizendo: "(...) Determine, se possível (...)".

Quando não seria possível determinar o plano que contém A=(1, 2, 1) e a reta z=2y+3 (que é interseção de x=0 e x-2y+z-3=0)?

Ora, não seria possível caso o ponto A estivesse nessa reta. Entretanto, nesse caso o ponto A não está nessa reta, pois ele não está na interseção dos planos x=0 e x-2y+z-3=0. Note que esse ponto não pertence a nenhum desses planos!

Vitor2+ escreveu:4) $\vec{AP}$ = P-A = (0,0,3) - (1,2,1) = (-1,-2,2). Chamarei esse vetor de vetor 2 (V2)

Ok.

Vitor2+ escreveu:5) Encontrar o vetor 1.
(a, b, c) ? (1, -2, 1)
Só não consigo encontrar os outros valores que (a, b, c) assumem para encontrar o vetor 1 (V1) e dar continuidade a questão.

Para determinar um plano, precisamos de três de seus pontos que não sejam colineares.

Você já sabe que A=(1, 2, 1) e P=(0, 0, 3) são dois pontos desse plano. Basta agora escolher qualquer outro ponto do plano que não seja colinear com A e P.

Para isso, basta escolher outro ponto da reta z=2y+3 (que é interseção de x=0 e x-2y+z-3=0). Por exemplo, escolha o ponto Q=(0, 1, 5).

Você sabe que os pontos A, P e Q não são colineares.

Basta agora determinar o vetor 1 como sendo $\vec{v}_1 = \vec{AQ} = Q - A = (0,\, 1, \,5) - (1,\, 2, \,1) = (-1,\, -1, \,4)$ .

Vitor2+ escreveu:6) V1xV2=det $\begin{vmatrix} i & j & k \\ V1 & V1 & V1 \\ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

Fiquei travado neste ponto. Será que alguém pode me ajudar?

Basta continuar calculando:

$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 4 \\ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

Vitor2+ escreveu:Como faço para achar a equação da reta interseção do plano com o plano yoz?

Mas você já encontrou! A reta z=2y+3 é a interseção entre os planos x=0 e x-2y+z-3=0.

Observação

Vitor2+ escreveu:6) V1xV2=det $\begin{vmatrix} i & j & k \\ V1 & V1 & V1 \\ -1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$

Em matrizes, quando escrevemos os delimitadores com barras verticais, já estamos representando o determinante.

Por exemplo, considere a matriz:

$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

Também poderíamos ter escrito essa matriz como:

$A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

Note que na primeira escrita usamos "[ ]" (colchetes) como delimitadores. Já na segunda escrita usamos "( )" (parênteses).

Para representar o determinante dessa matriz temos duas escritas básicas:

(i) $\det A$ ;

(ii) $\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$ (note que usamos "| |" -- barras verticais -- como delimitadores);

Não devemos escrever algo como:

$\det \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$

Por outro lado, não teria problema ter escrito algo como:

$\det \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$