Ajuda com Hipérboles

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Ajuda com Hipérboles

Mensagempor pablohas » Ter Dez 07, 2010 03:32

Caros, preciso de ajuda em um exercício de hipérbole que não consigo resolver

Determine os vértices e os focos da hipérbole, dada a equação abaixo:

y^2 - x^2 = 16

Se puderem me ajudar.
Graato
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Re: Ajuda com Hipérboles

Mensagempor luispereira » Qui Dez 23, 2010 19:24

dado q esta hiperbole esta centrada na origem é facil ver q ela e equilátera e q o tamanho dos semi-eixos é 4. Porem, seu eixo real é o y e, por consequinte, seus focos tambem estarão neste e em posições simétricas.

Dado a condiçao das hiperboles: c^2=a^2+b^2, onde 2c é a distância entre os focos, temos :

c=4\sqrt2
Logo, seus focos estao posicionados em: F(0,4\sqrt2) e F(0,-4\sqrt2)

analogamente para os vértices: V(0,4) e V(0,-4)
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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