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Polinômios

Polinômios

Mensagempor Rose » Seg Set 08, 2008 22:07

OLá!!


Não estou sabendo como fazer este problema sobre polinômios. Gostaria que vocês me ajudassem.

Questão: Determine o polinômio com coeficientes inteiros que tenha raiz de 3 + raiz 2 como uma de suas raizes.

Obrigada
Rose
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Re: Polinômios

Mensagempor admin » Ter Set 09, 2008 21:33

Olá Rose!

Pelo teorema da decomposição, todo polinômio P de grau n (n \geq 1)

P = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0

pode ser decomposto de maneira única em n fatores do primeiro grau.
Desta forma, podemos reescrevê-lo assim:

P = a_n(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)\cdots(x-r_n)

onde r_1, r_2, r_3, \cdots, r_n são as raízes de P.

Sendo assim, se \sqrt{3}+\sqrt{2} é raiz, então:

x-\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right) divide o polinômio.

Em outras palavras, P é múltiplo de x-\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right).


Como sabemos apenas esta raiz, uma alternativa é supor a_n = 1 e avaliarmos o produto:

P' = \left[ x-\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right) \right] \cdot  \left[ x+\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right) \right]

sendo o outro fator o conjugado, pois estamos em busca de coeficientes inteiros.


Faça a distributiva e caso não obtenha coeficientes inteiros, multiplique novamente por um fator "conjugado" ao polinômio atual, visando eliminar as raízes dos coeficientes.

Bons estudos!
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Re: Polinômios

Mensagempor Rose » Qua Set 10, 2008 11:50

OLá!!


Obrigadaaa!!!

Depois desta explicação, consegui entender o teorema da decomposição e sua utilidade. Resolvi e cheguei a um polinômio de grau 4. Valeu genteee!!!!
Rose
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.