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Questão prova magisterio 2008

Questão prova magisterio 2008

Mensagempor fernandocez » Seg Fev 14, 2011 16:42

Olá pessoal, eu sou novo aqui. Eu acho que aqui vai ser a minha única chance de aprender a resolver essa questão da prova do concurso prá magistério do Estado RJ.
A questão:

O número real x é tal que x+2{x}^{-1}=5. Então, o valor de {x}^{2}+4{x}^{-2} é:

No gabarito a resposta é: 21

Eu fiz arrumei ficou assim: 2{x}^{2}-10x+1=0
Meu delta deu 92, ai não consegui continuar. Se alguem puder ajudar agradeço.
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Re: Questão prova magisterio 2008

Mensagempor LuizAquino » Seg Fev 14, 2011 19:14

fernandocez escreveu:O número real x é tal que x+2{x}^{-1}=5. Então, o valor de {x}^{2}+4{x}^{-2} é:


Essa questão depende de você ter uma boa percepção, para notar que elevando ao quadrado ambos os membros da primeira equação a expressão {x}^{2}+4{x}^{-2} irá aparecer no primeiro membro.

\left(x+2x^{-1}\right)^2 = 5^2

x^2 + 4 + 4x^{-2}= 25

x^2 + 4x^{-2} =  21

Obviamente, outro caminho (mais longo) para resolver esse exercício seria desenvolver x+2{x}^{-1}=5 para obter a equação do 2° grau x^2-5x+2=0. Em seguida, substituir as soluções dessa equação na expressão {x}^{2}+4{x}^{-2}. A pessoa que escolher esse caminho verá que ele é bem mais longo do que a solução mais "elegante" apresentada acima. Além disso, é sempre bom lembrar que tempo é um fator crucial em concursos ou vestibulares.
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Re: Questão prova magisterio 2008

Mensagempor fernandocez » Seg Fev 14, 2011 23:16

Obrigadão Luiz, eu já vi que tenho que aprender muito prá passar no concurso e aqui é o lugar certo prá isso.
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Re: Questão prova magisterio 2008

Mensagempor fernandocez » Ter Fev 15, 2011 19:22

LuizAquino escreveu:


Aproveitando a sua ajuda, tem uma parecida com a resolvida que tentei, tentei de todas as formas mas não consegui chegar na resposta. Vai a questão:

26) Se {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{2}=3 , o valor de {x}^{3}+\frac{1}{{x}^{3}}=3

A resposta: 0

Eu fiz assim, {\left(x+\frac{1}{x} \right)}^{3}={\left(\sqrt[]{3} \right)}^{3} , elevei ao cubo ambos os membros e comecei a desenvolver.
Só que não consegui desenvolver. Fiquei enrolado nas operações com frações, fiz assim:
\left(x+\frac{1}{x} \right){\left(x+\frac{1}{x} \right)}^{2}= ... {x}^{3}+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{3}}
Daí eu não consegui proceguir mais. Acredito que tá errado o desenvolvimento. Obrigado pela ajuda.
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Re: Questão prova magisterio 2008

Mensagempor LuizAquino » Ter Fev 15, 2011 20:10

fernandocez escreveu:26) Se {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{2}=3 , o valor de {x}^{3}+\frac{1}{{x}^{3}}

A resposta: 0


Lembre-se que: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Além disso, lembre-se que: \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}.

Pois muito bem, como você havia feito, temos:

{\left(x+\frac{1}{x} \right)}^{3}={\left(\sqrt{3} \right)}^{3}

Que desenvolvendo obtemos:
x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3}

x^3 + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3}

x^3 + 3\sqrt{3} + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3}

x^3 + \frac{1}{x^3} = 0
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}