Questão de polinômios(UFMG-2007)

por **Thiago Silveira** » Dom Ago 15, 2010 18:07

Pessoal, sou novo aqui no fórum, como não encontrei lugar pra me apresentar, estou fazendo aqui mesmo. Meu nome é Thiago Silveira e tenho 18 anos. Prazer a todos. Estou estudando pra alguns vestibulares e queria ajuda na seguinte questão de polinômios da prova da ufmg de 2007: http://www.ufmg.br/copeve/site/arquivos/Provas/2007/2etapa/2matematica.pdf

QUESTÃO 03 (Constituída de três itens.)
As dimensões a, b e c, em cm, de um paralelepípedo retângulo são as raízes do polinômio
p (x) = 6x3 – 44x2 + 103x – 77

1. CALCULE o volume desse paralelepípedo.
2. CALCULE a soma das áreas das faces desse paralelepípedo.
3. CALCULE o comprimento da diagonal desse paralelepípedo.

Eu não consegui fazer nada da questão. Nunca estudei polinômios. A unica coisa que eu pensei foi igualar p(x)=0 e tentar fazer uma equação de 3º grau, mas eu nao tenho nenhuma ideia de como que faz. Preciso de ajuda. Só me mostrarem o caminho ou me dar alguma dica de polinomios por favor

até mais e obrigado desde já.

Thiago

por **Douglasm** » Dom Ago 15, 2010 19:36

Olá Thiago, bem vindo ao fórum. Essa questão se resolve utilizando as Relações de Girard. Eu vou utilizar essas relações aqui sem explicá-las para não me delongar demais, por isso sugiro que dê uma olhada nelas para pode compreender a resolução.

a) O volume do paralelepípedo será o produto das suas três dimensões, que é igual ao produto das três raízes. As Relações de Girard nos dizem que esse produto é:

$S_G^3 = a.b.c = \frac{-a_0}{a_3} = \frac{-(-77)}{6} = \frac{77}{6}$

Consequentemente, o volume procurado é 77/6 cm³.

b) Nesse caso queremos a soma dos produtos de duas dimensões (que indicam áreas das faces). Esse produto é dado por:

$S_G^2 = ab + bc + ca = \frac{a_1}{a_0} = \frac{103}{6}$

Mas note que devemos multiplicar o valor que será obtido por 2, pois temos duas faces com as áreas ab, bc e ca. Logo a soma procurada é de 103/3 cm².

c) Nesta questão conto com a sua visão do paralelepípedo, a fim de perceber que a diagonal é dada por:

$D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Vamos encontrar essa soma dos quadrados das raízes (também conhecida como "Soma de Newton de grau 2") fazendo uma pequena manipulação com as somas de Girard, veja só:

$S_2^* = a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = (S_G^1)^2 - 2(S_G^2) = (\frac{44}{6})^2 - 2(\frac{103}{6})\;\therefore$

$S_2^* = \frac{700}{36} = \frac{175}{9}$

A diagonal vale, portanto $\frac{\sqrt{175}}{3}$ cm.

Obs: - $S_G^n = \;\mbox{Soma de Girard das raizes agrupadas n a n.}$ ;

Caso possua o gabarito, poste também em questões futuras. Espero ter ajudado, até a próxima.

por **Thiago Silveira** » Dom Ago 15, 2010 23:05

Gostei da resolução. Parece estar certo. Olhei o gabarito no site do bernouli. Só a ultima que ao invés de 175/9 deu $\frac{\sqrt{175}}{9}$ . Eu aprendi relação de Girard em função, só que foi um pouquinho diferente em que $S=\frac{-b}{2a}$ e P=c/a

, mas eu nao sabia que podia usar assim. Eu, como eu disse nunca aprendi polinomios, fruto da "bela" educação do Brasil.

De toda forma, eu agredeço por me ajudar, vou estudar essa parte da matematica que ainda nao sei e tentar fazer exercícios deste tipo. Muito obrigado, qualquer outra duvida eu posto aqui.

T+

por **Douglasm** » Dom Ago 15, 2010 23:21

Tem razão, eu esqueci da raiz. A resposta correta da letra C é:

$D = \frac{\sqrt{175}}{3}$

Vou corrigir lá em cima também para não haver ambiguidades.

por **Thiago Silveira** » Seg Ago 16, 2010 18:03

Ok, então tá certo. Vlw por me ajudar. Eu faço aula particular de matemática e já pedi ao prof pra me ensinar. Já peguei monomios, binomios, e produto notavel. Não é tão dificil como eu pensei. Vlw, qualquer outra duvida eu posto por aqui. T+