exerc.resolvido

por **adauto martins** » Ter Nov 05, 2019 21:00

seja $p(x)={x}^{100}-{x}^{5}-2{x}^{5}+x+1$

de as possibilidades de p(x) ter raizes positivas,raizes negativas e raizes complexas.

por **adauto martins** » Ter Nov 05, 2019 21:15

soluçao:

vamos usar a "regra de descartes" e os "criterios de lacuna-hiaut".

$p(x)={x}^{100}-{x}^{5}-2{x}^{2}+x+1$

tem como variaçoes de sinais dos coeficientes(+,-,-,+,+),2 trocas...
a possibilidade de termos 2 raizes positivas ou nenhuma raiz positivas,considerando a perguntas 2 raizes reais positivas.
façamos

$p(-x)={(-x)}^{100}-{(-x)}^{5}-2{(-x)}^{2}+(-x)+1 p(-x)={x}^{100}+{x}^{5}-2{x}^{2}-x +1$

$\rightarrow$ (+,+,-,-,+)

2 raizes reais negativas...

temos que:
${a}_{99}={a}_{98}={a}_{97}=...={a}_{4}={a}_{3}=0...$

logo existem raizes complexas,entao podemos ter a seguinte configuraçao

2 raizes reais positivas,2 raizes reais negativas e 96 pares de raizes complexos-conjugados.

ps-errei na pergunta o grau do coeficiente ${a}_{2}$ ,
mas corrigi na resoluçao do exercicio...

exerc.resolvido

exerc.resolvido

exerc.resolvido

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