• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Polinômio] com raiz complexa

[Polinômio] com raiz complexa

Mensagempor carolsiva » Qui Jan 09, 2014 09:45

Olá pessoal, estou com dúvida neste exercício:

Dado o polinômio p(x) = x³ - 11x² + 20x - 18 e sabendo-se que uma das raízes é o número complexo 1+i, em que i² = -1 e, que a raiz real desse polinômio é um número inteiro m, então m é
A)múltiplo de 2
B)primo
C)múltiplo de 3 <-- resposta

Tentei dividir o polinômio por briot-ruffini para abaixar o grau, mas não cheguei a nada!
carolsiva
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 2
Registrado em: Qui Jan 09, 2014 09:30
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Andamento: formado

Re: [Polinômio] com raiz complexa

Mensagempor anderson_wallace » Qui Jan 09, 2014 15:13

Observe o seguinte,

Sejam

q: quociente
g: divisor
r: resto
f: dividendo

É verdadeira a relação, qg+r=f, daí faça g=(x-a) onde a é uma das raízes do polinômio, nesse caso a=1+i.
g=(x-(1+i)).

Note que apesar de não conhecermos q nem r, sabemos que q é um polinômio de grau dois, visto que é o resultado da divisão de um polinômio de grau três por um polinômio de grau um, então q é do tipo a{x}^{2}+bx+c, além disso, como o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor, então o grau de r é 0, logo r é uma constante que chamaremos de d. Por fim nossa expressão vai ficar:

qg+r=f\Rightarrow(a{x}^{2}+bx+c)(x-(1+i))+d={x}^{3}-11{x}^{2}+20x-18

Agora vc pode montar um sistema e encontrar os valores de a, b, c e d.

É um processo bastante trabalhoso, mas depois que encontrar esses valores vc vai poder escrever o polinômio q=a{x}^{2}+bx+c

Daí poderá resolver a equação q=0 para encontrar as outras duas raízes que faltam, inclusive a raíz real. Mas novamente, dá muito trabalho.

Já adianto que,

a=1\\
b=-10+i\\
c=9-9i\\
d=36

Tente chegar nesses valores para continuar a resolução.

Preste bastante atenção nesse procedimento que vc vai notar que está correto e que realmente vai chegar nos resultados, mas lhe adianto, dá muita conta.
anderson_wallace
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 25
Registrado em: Seg Dez 30, 2013 17:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: Ciência e Tecnologia
Andamento: cursando

Re: [Polinômio] com raiz complexa

Mensagempor carolsiva » Qui Jan 09, 2014 18:50

Correto! Mas consegui achar um maneira mais fácil:

Se 1+i é raiz, seu conjugado também será (1-i)
Logo, pelas relações de Girard:
-b/a = r1+r2+r3
-(-11)/1 = 1 + i + 1 - i + m = 11
2 + m = 11
m = 9
carolsiva
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 2
Registrado em: Qui Jan 09, 2014 09:30
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Andamento: formado

Re: [Polinômio] com raiz complexa

Mensagempor anderson_wallace » Qui Jan 09, 2014 23:24

Verdade!

Não lembrei dessa propriedade. Sem dúvida é bem mais vantajoso resolver desse modo. :y:
anderson_wallace
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 25
Registrado em: Seg Dez 30, 2013 17:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: Ciência e Tecnologia
Andamento: cursando


Voltar para Polinômios

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante

 



Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.