continuaçao do exerc.anterior(ENE-1950)

por **adauto martins** » Qui Nov 07, 2019 14:23

vamos dar continuidade ao exerc.anterior da ENE,para estimar se o polinomio dado,tem raizes reais,o que ja mostramos ter p/ x=1,raizes complexas...
primeiramente vamos estimar o intervalo das raizes,nao o fiz na questao anterior para mostrar como é o processo de encontrar raizes racionais,que sao tambem raizes reais,pois os racionais estao contidos nos reais e etc...
vamos usar,como fiz do exerc. do ITA,usar

$\left|{r}_{(raizes)} \right|=1+\left|(max.({a}_{(ns)})/{a}_{n} \right| \left|r \right|=1+\left|(-19)/3 \right|=1+(19/3)=22/3\approx 7.33...$

logo nosso intervalo é menor que o estimado anteriormente...ficaria agora com,para raizes racionais

[-6,-4,-3,-2,-1,-4/3,-2/3,...,2,3,4,6] o qual nao mudaria muito do anterior...vamos tomar o polinomio

$p(x)=3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12$

vamos usar a "regra de descartes" para variaçao de sinais dos coeficientes

(+,-,-,+,+) nao nos daria 2 trocas,ou seja duuas raizes reais positivas,ou nenhuma.como ja calculamos que para x=1,tem-se p(x)=0,logo teremos mais uma raiz positiva...

agora vamos estimar para raizes reais negativas

$p(-x)=3{(-x)}^{4}-4{(-x)}^{3}-19{(-x)}^{2}+8(-x)+12 p(-x)=3{x}^{4}+4{x}^{3}-19{x}^{2}-8x+12 \rightarrow (+,+,-,-,+)$

2 trocas,o qual nos da 2 raizes reais negativas ou nenhuma...

vamos agora estimar se ha raizes complexo-conjugados

tomamos o polinomio novamente

$p(x)=3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12$

observar-se que $p(0)\neq 0$ e que nao ha nenhum coeficiente nulo...
temos que

${{a}_{4}}^{2}={(-4)}^{2}=16\succ 3.(-19)=-57...$

como tambem temos

${{a}_{2}}^{2}={(-19)}^{2}=361\succ (-4).8=-32...$

${{a}_{1}}^{2}={(8)}^{2}=64\succ (-19).12=-228...$

como em nenhum desses encontramos a condiçao de

p/algum k,

${{a}_{k}}^{2}\preceq {a}_{(k+1)}.{a}_{(k-1)}$

entao nao temos raiz complexo-conjugado,pois se encontrassemos pelo um k,que satisfaz a condiçao da "regra de huat",
mesmo tendo outros que nao satisfaça tal criterio,

teriamos raizes complexos-conjugados.

por **adauto martins** » Sex Nov 08, 2019 12:05

${a}_{2}=0...{a}_{(k+1)}.{a}_{(k-1)}=4.8=32\succ 0$ ${a}_{2}=0...{a}_{(k+1)}.{a}_{(k-1)}=(4).(8)=32\succ 0$ vamos pegar mais um "gancho" na questao anterior da ENE-1950 e modificarmos o polinomio para que possamos ter raizes complexo-conjugado e encontrar a possivel localidade de suas raizes.vamos calcular o "anel",diferença entre cota-superior(disco maior) e cota inferior(disco menor).modificando o polinomio é claro que suas raizes reais serao outras,mas nosso foco serao apenas as raizes complexo-conjugado.
(1)
cota superior(disco maior) de um polinomio p(x) é dado por:

$\left|z \right|\preceq 1+\sqrt[r]{\left|max.({a}_{n},...,{a}_{o})/{a}_{n} \right|}$

onde r,é a diferença entre o maior grau,e o grau subsequente do polinomio e

$max.({a}_{n},...,{a}_{0})$

é o maior dos coeficientes de p(x),

${a}_{n}$
coeficiente do monomio de maior grau...essas cotas,sao tambem cotas para o intervalo de numeros reais e mais precisas que o que estamos utilizazando,como o do exerc. do ITA,
$\left|r \right|\preceq 1+\left|max.({a}_{n},...,{a}_{n})/{a}_{n} \right|$

(2)
a cota inferior é dado por:

$\left|z \right|\geq 1/(1+\sqrt[r]{\left|max.({a}_{n},...,{a}_{n})/{a}_{n} \right|})$
onde r,é o menor dos graus do expoentes de p(x),
$r\geq 2...$

tomemos entao o polinomio

$p(x)=3{x}^{4}+4{x}^{3}+8x+12$

usando a "regra da lacuna" ,temos

$p(0)=12\neq 0$
verificamos que:
${a}_{2}=0...{a}_{(k+1)}.{a}_{(k-1)}=(4).(8)=32\succ 0$

logo existe raiz complexo-conjugado.
vamos agora estimar sua,ou suas localizaçao:

cota superior

$\left|z \right|\preceq 1+\left|\sqrt[4-3]({12}/3) \right|=1+4=5 \Rightarrow \left|z \right|\preceq 5...$

cota inferior

$\left|z \right|\geq 1/(1+\sqrt[2]{12/3} \right|})=1/(1+4)=1/\sqrt[]5 \left|z \right|\geq 1/\sqrt[]5$

logo teremos

$\left|{z}_{(sup.)} \right|\preceq 5\Rightarrow -5\preceq {z}_{(sup.)} \preceq 5$

$\left|{c}_{(inf)} \right|\geq 1/\sqrt[]{5}\Rightarrow -\left|{c}_{(inf)} \right|\preceq -(1/\sqrt[]{5}) \left|{c}_{(sup)} \right|-\left|{c}_{(inf)} \right|\preceq 5-(1/\sqrt[]{5})$

logo as raizes complexos-conjugado de p(x),estao localizado no disco

$\left|z \right|\preceq 5-(1/\sqrt[]{5})$

ps-como disse o estudo de soluçoes de polinomio é extensa,seja a nivel medio,como superior.e seus calculos é parte da area da matematica aplicada,calculo numerico,que faz avançar teorico,como pratico os calculos feito por computadores...

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