Determinar as raízes de um polinômio

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Determinar as raízes de um polinômio

Mensagempor nanasouza123 » Sex Set 22, 2017 21:09

O produto de duas raízes da equação {2x}^{3}-{19x}^{2}+37x-14=0 é 1. Determinar as raízes desse polinômio.
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Re: Determinar as raízes de um polinômio

Mensagempor DanielFerreira » Sex Nov 20, 2020 19:07

Sejam \mathsf{x_1}, \mathsf{x_2} e \mathsf{x_3} as raízes da equação em questão. De acordo com o enunciado, o produto de duas delas vale UM. Em símbolos,

\mathsf{x_1 \cdot x_2 = 1}

Por Girard, temos que o produto das (três) raízes vale...

\\ \mathsf{P = - \frac{- 14}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{P = 7}}

Portanto,

\\ \mathsf{P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3} \\\\ \mathsf{7 = 1 \cdot x_3} \\\\ \boxed{\mathsf{x_3 = 7}}

Isto é, SETE é uma raiz da equação. Dito isto, pelo método da chave, podemos determinar a equação (de grau dois) que permitirá encontrar as demais raízes. Segue,

+ 2x³ - 19x² + 37x - 14 | x - 7
____________________| 2x² - 5x + 2
+ 2x³ - 19x²
- 2x³ + 14x²
____________________|
- 5x² + 37x - 14
+ 5x² - 35x
____________________|
+ 2x - 14
- 2x + 14
____________________|
0

Daí,

\mathsf{2x^3 - 19x^2 + 37x - 14 = (x - 7) \cdot (2x^2 - 5x + 2) = 0}

Com efeito,

\\ \mathsf{2x^2 - 5x + 2 = 0} \\\\ \mathsf{2x^2 - 4x - x + 2 = 0} \\\\ \mathsf{2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0} \\\\ \mathsf{(x - 2) \cdot (2x - 1) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 1/2}} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 2}}

Por fim, podemos concluir que

\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ \frac{1}{2}, 2, 7 \right \}}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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