Determinar as raízes de um polinômio

por **nanasouza123** » Sex Set 22, 2017 21:09

O produto de duas raízes da equação ${2x}^{3}-{19x}^{2}+37x-14=0$ é 1. Determinar as raízes desse polinômio.

por **DanielFerreira** » Sex Nov 20, 2020 19:07

Sejam $\mathsf{x_1}$ , $\mathsf{x_2}$ e $\mathsf{x_3}$ as raízes da equação em questão. De acordo com o enunciado, o produto de duas delas vale UM. Em símbolos,

$\mathsf{x_1 \cdot x_2 = 1}$

Por Girard, temos que o produto das (três) raízes vale...

$\\ \mathsf{P = - \frac{- 14}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{P = 7}}$

Portanto,

$\\ \mathsf{P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3} \\\\ \mathsf{7 = 1 \cdot x_3} \\\\ \boxed{\mathsf{x_3 = 7}}$

Isto é, SETE é uma raiz da equação. Dito isto, pelo método da chave, podemos determinar a equação (de grau dois) que permitirá encontrar as demais raízes. Segue,

+ 2x³ - 19x² + 37x - 14 | x - 7
____________________| 2x² - 5x + 2
+ 2x³ - 19x²
- 2x³ + 14x²
____________________|
- 5x² + 37x - 14
+ 5x² - 35x
____________________|
+ 2x - 14
- 2x + 14
____________________|
0

Daí,

$\mathsf{2x^3 - 19x^2 + 37x - 14 = (x - 7) \cdot (2x^2 - 5x + 2) = 0}$

Com efeito,

$\\ \mathsf{2x^2 - 5x + 2 = 0} \\\\ \mathsf{2x^2 - 4x - x + 2 = 0} \\\\ \mathsf{2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0} \\\\ \mathsf{(x - 2) \cdot (2x - 1) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 1/2}} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 2}}$

Por fim, podemos concluir que

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ \frac{1}{2}, 2, 7 \right \}}}}$

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