Polinômios -Dificuldade

por **Fernanda Dias** » Qua Mai 10, 2017 10:49

Dividindo-se o polinômio p(x) = x3 + kx2 + 6x + 2 por q(x) = x2 – 2x, obtém-se o resto r(x) = 3x + 2. O valor de k é: a) 7/2 b) 2/7 c) -2/3 d) -3/2 e) -7/2

Eu já tentei fazer esse cálculo de todas as formas mas não consigo encontrar nenhuma das respostas . Preciso de ajuda para identificar o cálculo que preciso fazer

por **DanielFerreira** » Dom Mai 14, 2017 01:08

Olá Fernanda, seja bem-vinda!

Pensei no seguinte: igualando o divisor q(x) a zero e substituindo o valor de x encontrado em r(x) teremos a ordenada da função polinomial naquele ponto x. Veja:

$\\ \mathsf{q(x) = 0} \\ \mathsf{x^2 - 2x = 0} \\ \mathsf{x(x - 2) = 0} \\ \mathsf{x = 0} \\ \mathsf{x = 2}$

Quando x = 0 a ordenada é dada por:

$\\ \mathsf{r(x) = 3x + 2} \\ \mathsf{r(0) = 0 + 2} \\ \mathsf{r(0) = 2}$

Isto é, se você substituir a variável $\mathsf{x}$ por $\mathsf{0}$ em $\mathsf{p(x)}$ , então deverá encontrar $\mathsf{p(0) = 2}$ . Verifique!!

Quando x = 2 a ordenada é dada por:

$\\ \mathsf{r(x) = 3x + 2} \\ \mathsf{r(2) = 6 + 2} \\ \mathsf{r(2) = 8}$

Isto é, se você substituir a variável $\mathsf{x}$ por $\mathsf{8}$ em $\mathsf{p(x)}$ , então deverá encontrar $\mathsf{p(2) = 8}$ .

Daí,

$\\ \mathsf{p(x) = x^3 + kx^2 + 6x + 2} \\ \mathsf{p(2) = 2^3 + k \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + 2} \\ \mathsf{8 = 8 + 4k + 12 + 2} \\ \mathsf{- 4k = 14} \\ \boxed{\mathsf{k = - \frac{7}{2}}}$

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