Polinômios" Multiplicidade de raizes de polinômio

por **Rose** » Sex Set 21, 2012 18:42

Boa tarde!!

Estou com duvida nesta questão: Verifique se o polinômio p(x)= 2x^5 + 23x^4 + 96x^3 + 162 x^2 + 54x - 81 possui alguma raiz real de multiplicidade 4, e caso possua, encontre-a.

Resolução

Não sei se entendi certo o problema mas dividi o p(x)= 2x^5 + 23x^4 + 96x^3 + 162 x^2 + 54x - 81 por ( x-4) e obtive como resultado : q(x)= 2x^4 + 31x^3 +220x^2+ 1042 x + 4222 e r (x) =16880...Com isso conclui que X- 4 não é raiz....Mas como encontrar a riz certa!! Podes me ajudar!!

por **young_jedi** » Sex Set 21, 2012 19:59

um polinomio que possui uma raiz de multiplicidade 4 é um polinomio do tipo

P.(x-a)^2.(x-b)

sendo que

é sua raiz de multiplicidade quatro e b é uma raiz de multiplicidade 1
sendo estas as duas raizes do polinomio

pelas relações de Girard

$4a+b&=&\frac{-23}{2}$

$6a^2+4ab&=&\frac{96}{2}$

$6a^2.b+4a^3&=&\frac{-162}{2}$

$4a^3.b+a^4&=&\frac{54}{2}$

$a^4.b&=&\frac{81}{2}$

para que a seja raiz do polinomio e tenha multiplicidade 4 todas as equaçãoes devem ser satisfeitas
assim isolando b na primeira equação e substituindo na segunda temos

$6a^2+4a(-4a-\frac{23}{2}&=&\frac{96}{2})$

-16a^2+6a^2-46a-48&=&0

$a&=&\frac{-23\pm \sqrt{23^2-4.5.24}}{2.5}$

$a&=&\frac{-23\pm \sqrt{529-480}}{10}$

$a&=&\frac{-23\pm \sqrt{49}}{10}$

$a&=&\frac{-23\pm7}{10}$

$a_{1}&=&-3$

$a_{2}&=&-\frac{2}{3}$

para a=-3 temos

$b&=&-\frac{23}{2}-4(-3)$

$b&=&\frac{1}{2}$

substituindo nas demais equação vemos que a=-3 e b=1/2 satisfazem todas portanto -3 é raiz de multiplicidade 4